Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 1 + 6 x e^{x - y}$

Étape 1

Laissez $v = e^{x - y}$ . Remplacez toutes les occurrences de $e^{x - y}$ par $v$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 + 6 x v$

Étape 2

Déterminez $\frac{d v}{d x}$ en différenciant $e^{x - y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - y$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{d v}{d x} = e^{x - y} (1 - y')$

Étape 3

Remplacez $e^{x - y}$ par $v$ .

$\frac{d v}{d x} = v (1 - y')$

Étape 4

Remplacez à nouveau la dérivée dans l’équation différentielle.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} + 1 = 1 + 6 x v$

Étape 5

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Résolvez $\frac{d v}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d v}{d x}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 1 + 6 x v - 1$

Étape 5.1.1.2

Associez les termes opposés dans $1 + 6 x v - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v + 0$

Étape 5.1.1.2.2

Additionnez $6 x v$ et $0$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$

Étape 5.1.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v} = 6 x v$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{- 1} = \frac{6 x v}{- 1}$

Étape 5.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v}}{1} = \frac{6 x v}{- 1}$

Étape 5.1.2.2.2

Divisez $\frac{\frac{d v}{d x}}{v}$ par $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = \frac{6 x v}{- 1}$

Étape 5.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.2.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{6 x v}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 1 \cdot (6 x v)$

Étape 5.1.2.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot (6 x v)$ comme $- (6 x v)$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - (6 x v)$

Étape 5.1.2.3.3

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} = - 6 x v$

Étape 5.1.3

Multipliez les deux côtés par $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = - 6 x v \cdot v$

Étape 5.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1.1

Annulez le facteur commun de $v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v} v = - 6 x v \cdot v$

Étape 5.1.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = - 6 x v \cdot v$

Étape 5.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.2.1

Multipliez $v$ par $v$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.2.1.1

Déplacez $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 6 x (v \cdot v)$

Étape 5.1.4.2.1.2

Multipliez $v$ par $v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 6 x v^{2}$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v^{2}} (- 6 x v^{2})$

Étape 5.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = - 6 \frac{1}{v^{2}} (x v^{2})$

Étape 5.3.2

Associez $- 6$ et $\frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (x v^{2})$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Factorisez $v^{2}$ à partir de $x v^{2}$ .

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (v^{2} x)$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = \frac{- 6}{v^{2}} (v^{2} x)$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{v^{2}} \frac{d v}{d x} = - 6 x$

Étape 5.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{v^{2}} d v = - 6 x d x$

Étape 6

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{v^{2}} d v = \int - 6 x d x$

Étape 6.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Retirez $v^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(v^{2})}^{- 1} d v = \int - 6 x d x$

Étape 6.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int v^{2 \cdot - 1} d v = \int - 6 x d x$

Étape 6.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int v^{- 2} d v = \int - 6 x d x$

Étape 6.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $v^{- 2}$ par rapport à $v$ est $- v^{- 1}$ .

$- v^{- 1} + C_{1} = \int - 6 x d x$

Étape 6.2.3

Réécrivez $- v^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{v} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \int - 6 x d x$

Étape 6.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 \int x d x$

Étape 6.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 6.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Réécrivez $- 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $- 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 6.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 6.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Étape 6.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Étape 6.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{v} + C_{1} = \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{2}$

Étape 6.3.3.2.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$- \frac{1}{v} + C_{1} = - 3 x^{2} + C_{2}$

Étape 6.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$

Étape 7

Résolvez $v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$v, 1, 1$

Étape 7.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$v$

Étape 7.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$ par $v$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{v} = - 3 x^{2} + K$ par $v$ .

$- \frac{1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{v}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Étape 7.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{v} v = - 3 x^{2} v + K v$

Étape 7.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - 3 x^{2} v + K v$

Étape 7.3

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Réécrivez l’équation comme $- 3 x^{2} v + K v = - 1$ .

$- 3 x^{2} v + K v = - 1$

Étape 7.3.2

Factorisez $v$ à partir de $- 3 x^{2} v + K v$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.2.1

Factorisez $v$ à partir de $- 3 x^{2} v$ .

$v (- 3 x^{2}) + K (v) = - 1$

Étape 7.3.2.2

Factorisez $v$ à partir de $K v$ .

$v (- 3 x^{2}) + v (K) = - 1$

Étape 7.3.2.3

Factorisez $v$ à partir de $v (- 3 x^{2}) + v (K)$ .

$v (- 3 x^{2} + K) = - 1$

Étape 7.3.3

Divisez chaque terme dans $v (- 3 x^{2} + K) = - 1$ par $- 3 x^{2} + K$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.1

Divisez chaque terme dans $v (- 3 x^{2} + K) = - 1$ par $- 3 x^{2} + K$ .

$\frac{v (- 3 x^{2} + K)}{- 3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Étape 7.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3 x^{2} + K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{v (- 3 x^{2} + K)}{- 3 x^{2} + K} = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Étape 7.3.3.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{- 1}{- 3 x^{2} + K}$

Étape 7.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$v = - \frac{1}{- 3 x^{2} + K}$

Étape 7.3.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2}) + K}$

Étape 7.3.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $K$ .

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2}) - 1 (- K)}$

Étape 7.3.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - 1 (- K)$ .

$v = - \frac{1}{- (3 x^{2} - K)}$

Étape 7.3.3.3.5

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.3.3.5.1

Réécrivez $- (3 x^{2} - K)$ comme $- 1 (3 x^{2} - K)$ .

$v = - \frac{1}{- 1 (3 x^{2} - K)}$

Étape 7.3.3.3.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$v = - - \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Étape 7.3.3.3.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$v = 1 \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Étape 7.3.3.3.5.4

Multipliez $\frac{1}{3 x^{2} - K}$ par $1$ .

$v = \frac{1}{3 x^{2} - K}$

Étape 8

Simplifiez la constante d’intégration.

$v = \frac{1}{3 x^{2} + K}$

Étape 9

Remplacez toutes les occurrences de $v$ par $e^{x - y}$ .

$e^{x - y} = \frac{1}{3 x^{2} + K}$

Étape 10

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x - y}) = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Étape 10.2

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Développez $\ln (e^{x - y})$ en déplaçant $x - y$ hors du logarithme.

$(x - y) \ln (e) = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Étape 10.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(x - y) \cdot 1 = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Étape 10.2.3

Multipliez $x - y$ par $1$ .

$x - y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$

Étape 10.3

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$

Étape 10.4

Divisez chaque terme dans $- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1

Divisez chaque terme dans $- y = \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) - x$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Étape 10.4.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1} + \frac{- x}{- 1}$

Étape 10.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{- x}{- 1}$

Étape 10.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$ comme $- \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K})$ .

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{- x}{- 1}$

Étape 10.4.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + \frac{x}{1}$

Étape 10.4.3.1.4

Divisez $x$ par $1$ .

$y = - \ln (\frac{1}{3 x^{2} + K}) + x$