Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = x^{- 3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} + 2 y = x^{- 3}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{- 3}}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{- 3}}{x}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{- 3}}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $x^{- 3}$ et $x$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{- 3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{- 4}}{x}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{- 4}}{x^{1}}$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{- 4}}{x \cdot 1}$

Étape 1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x \cdot x^{- 4}}{x \cdot 1}$

Étape 1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{x^{- 4}}{1}$

Étape 1.3.2.5

Divisez $x^{- 4}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = x^{- 4}$

Étape 1.4

Factorisez $y$ à partir de $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = x^{- 4}$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = x^{- 4}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{2}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{2})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{2}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{2}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} x^{- 4}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{2}{x}$ et $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{- 4}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{- 4}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} x^{- 4}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} x^{- 4}$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} x^{- 4}$

Étape 3.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{- 4}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2 - 4}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $4$ de $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{- 2}$

Étape 3.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x^{2} y = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$x^{2} y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 7.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 7.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} y = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 7.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} y = \int x^{- 2} d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$x^{2} y = - x^{- 1} + C$

Étape 7.3

Réécrivez $- x^{- 1} + C$ comme $- \frac{1}{x} + C$ .

$x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} y = - \frac{1}{x} + C$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{x}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.2

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

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Étape 8.3.1.2.1

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $\frac{1}{x}$ .

$y = - \frac{1}{x^{2} x} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.2.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 8.3.1.2.2.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 8.3.1.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{2} x^{1}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = - \frac{1}{x^{2 + 1}} + \frac{C}{x^{2}}$

Étape 8.3.1.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$y = - \frac{1}{x^{3}} + \frac{C}{x^{2}}$