Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + x) \frac{d y}{d x} = - 3 y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(1 + x) \frac{d y}{d x} = - 3 y$ par $1 + x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $(1 + x) \frac{d y}{d x} = - 3 y$ par $1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d y}{d x}}{1 + x} = \frac{- 3 y}{1 + x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + x) \frac{d y}{d x}}{1 + x} = \frac{- 3 y}{1 + x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 3 y}{1 + x}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 y}{1 + x}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{3 y}{1 + x})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{3 y}{1 + x}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{3 y}{1 + x}$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $3 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y \cdot 3}{1 + x}$

Étape 1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y \cdot 3}{1 + x}$

Étape 1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{3}{1 + x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{3}{1 + x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{1 + x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{1 + x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{1 + x} d x$

Étape 2.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{1 + x} d x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{1 + x} d x$

Étape 2.3.4

Laissez $u = 1 + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.4.1

Laissez $u = 1 + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.4.1.1

Différenciez $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Étape 2.3.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4.1.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.3.4.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - 3 \ln (| 1 + x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - 3 \ln (| 1 + x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) + 3 \ln (| 1 + x |) = C$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $\ln (| y |) + 3 \ln (| 1 + x |)$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 \ln (| 1 + x |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln (| y |) + \ln ({| 1 + x |}^{3}) = C$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | {| 1 + x |}^{3}) = C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y | {| 1 + x |}^{3})} = e^{C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| y | {| 1 + x |}^{3}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y | {| 1 + x |}^{3}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| y | {| 1 + x |}^{3} = e^{C}$ .

$| y | {| 1 + x |}^{3} = e^{C}$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $| y | {| 1 + x |}^{3} = e^{C}$ par ${| 1 + x |}^{3}$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $| y | {| 1 + x |}^{3} = e^{C}$ par ${| 1 + x |}^{3}$ .

$\frac{| y | {| 1 + x |}^{3}}{{| 1 + x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| 1 + x |}^{3}}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de ${| 1 + x |}^{3}$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y | {| 1 + x |}^{3}}{{| 1 + x |}^{3}} = \frac{e^{C}}{{| 1 + x |}^{3}}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Divisez $| y |$ par $1$ .

$| y | = \frac{e^{C}}{{| 1 + x |}^{3}}$

Étape 3.5.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C}}{{| 1 + x |}^{3}}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \frac{C}{{| 1 + x |}^{3}}$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C \frac{1}{{| 1 + x |}^{3}}$