Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} d x + y^{2} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $2 x^{2} d x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} d y = - 2 x^{2} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y^{2} d y = \int - 2 x^{2} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int - 2 x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - 2 \int x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ comme $- 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{- 2}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{2}{3} x^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{2}{3} x^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{2}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{2}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{2}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = 3 (- \frac{2}{3} x^{3} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (- \frac{2}{3} x^{3} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Associez $x^{3}$ et $\frac{2}{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{x^{3} \cdot 2}{3} + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (- \frac{2 x^{3}}{3} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{3} = 3 (- \frac{2 x^{3}}{3}) + 3 K$

Étape 3.2.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.2.1.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2 x^{3}}{3}$ dans le numérateur.

$y^{3} = 3 \frac{- 2 x^{3}}{3} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y^{3} = 3 \frac{- 2 x^{3}}{3} + 3 K$

Étape 3.2.2.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y^{3} = - 2 x^{3} + 3 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{- 2 x^{3} + 3 K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt[3]{- 2 x^{3} + K}$