Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 4 x + \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 4 x d x + \int \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Étape 2.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 \int x d x + \int \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int \frac{4 x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Étape 2.3.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{x}{\sqrt{16 - x^{2}}} d x$

Étape 2.3.5

Laissez $u = 16 - x^{2}$ . Alors $d u = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.5.1

Laissez $u = 16 - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Différenciez $16 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [16 - x^{2}]$

Étape 2.3.5.1.2

Différenciez.

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Étape 2.3.5.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.5.1.2.2

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 2.3.5.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.3.5.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Étape 2.3.5.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 x$

Étape 2.3.5.1.4

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$- 2 x$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{- 2} d u$

Étape 2.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int \frac{1}{\sqrt{u}} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 2.3.6.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int - \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u$

Étape 2.3.6.4

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 \int - \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + 4 (- \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u)$

Étape 2.3.8

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 \int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u)$

Étape 2.3.10

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.10.1

Simplifiez

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Étape 2.3.10.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 4$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 4}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.10.1.2

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 2.3.10.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{2 \cdot - 2}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.10.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.10.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.10.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.10.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) + \frac{- 2}{1} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.10.1.2.2.4

Divisez $- 2$ par $1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Étape 2.3.10.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.10.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Étape 2.3.10.2.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Étape 2.3.10.2.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.10.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.10.2.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Étape 2.3.10.2.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Étape 2.3.11

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 2 (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Étape 2.3.12

Simplifiez

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Étape 2.3.12.1

Simplifiez

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 2 (2 u^{\frac{1}{2}}) + C_{4}$

Étape 2.3.12.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 4 u^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Étape 2.3.13

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $16 - x^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 x^{2} - 4 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 2 x^{2} - 4 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + K$