Calcul infinitésimal Exemples

$3 y d x - (2 x + 1) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $3 y d x$ des deux côtés de l’équation.

$- (2 x + 1) d y = - 3 y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(2 x + 1) y}$ .

$\frac{1}{(2 x + 1) y} (- (2 x + 1)) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $2 x + 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(2 x + 1) y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Étape 3.2.2

Factorisez $2 x + 1$ à partir de $(2 x + 1) y$ .

$\frac{- 1}{(2 x + 1) (y)} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{(2 x + 1) y} (2 x + 1) d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Étape 3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{y} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{1}{(2 x + 1) y} (- 3 y) d x$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{y} d y = - 3 \frac{1}{(2 x + 1) y} y d x$

Étape 3.5

Associez $- 3$ et $\frac{1}{(2 x + 1) y}$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{(2 x + 1) y} y d x$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Factorisez $y$ à partir de $(2 x + 1) y$ .

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{y (2 x + 1)} y d x$

Étape 3.6.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{y (2 x + 1)} y d x$

Étape 3.6.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y} d y = \frac{- 3}{2 x + 1} d x$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y} d y = - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez

$- \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{3}{2 x + 1} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{3}{2 x + 1} d x$

Étape 4.3.2

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - (3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x)$

Étape 4.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 x + 1} d x$

Étape 4.3.4

Laissez $u = 2 x + 1$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Laissez $u = 2 x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1.1

Différenciez $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Étape 4.3.4.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.4.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.4.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 4.3.4.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 4.3.4.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 4.3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 4.3.5.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 4.3.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - 3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 4.3.7

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 3$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = \frac{- 3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 4.3.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 4.3.9

Simplifiez

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 4.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x + 1$ .

$- \ln (| y |) + C_{1} = - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{3}{2} \ln (| 2 x + 1 |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Associez $\ln (| 2 x + 1 |)$ et $\frac{3}{2}$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{\ln (| 2 x + 1 |) \cdot 3}{2} + C$

Étape 5.1.1.2

Déplacez $3$ à gauche de $\ln (| 2 x + 1 |)$ .

$- \ln (| y |) = - \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} + C$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \ln (| y |) + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Étape 5.3

Pour écrire $- \ln (| y |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Étape 5.4

Associez $- \ln (| y |)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- \ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Étape 5.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- \ln (| y |) \cdot 2 + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Étape 5.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 \ln (| y |) + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Étape 5.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 \ln (| y |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |)) + 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Étape 5.8

Factorisez $- 1$ à partir de $3 \ln (| 2 x + 1 |)$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |)) - (- 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Étape 5.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 \ln (| y |)) - (- 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{- (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Étape 5.10

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.10.1

Réécrivez $- (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ comme $- 1 (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))$ .

$\frac{- 1 (2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |))}{2} = C$

Étape 5.10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Étape 5.11

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.11.1

Simplifiez $- \frac{2 \ln (| y |) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.11.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.11.1.1.1

Simplifiez $2 \ln (| y |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- \frac{\ln ({| y |}^{2}) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Étape 5.11.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$- \frac{\ln (y^{2}) - 3 \ln (| 2 x + 1 |)}{2} = C$

Étape 5.11.1.1.3

Simplifiez $- 3 \ln (| 2 x + 1 |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$- \frac{\ln (y^{2}) - \ln ({| 2 x + 1 |}^{3})}{2} = C$

Étape 5.11.1.1.4

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{\ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}{2} = C$

Étape 5.11.1.2

Réécrivez $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})$ .

$- (\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})) = C$

Étape 5.11.1.3

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$- \ln ({(\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 5.11.1.4

Appliquez la règle de produit à $\frac{y^{2}}{{| 2 x + 1 |}^{3}}$ .

$- \ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 5.11.1.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.11.1.5.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.11.1.5.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 5.11.1.5.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.11.1.5.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 5.11.1.5.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \ln (\frac{y^{1}}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 5.11.1.5.2

Simplifiez

$- \ln (\frac{y}{{({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 5.11.1.6

Multipliez les exposants dans ${({| 2 x + 1 |}^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.11.1.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{3 (\frac{1}{2})}}) = C$

Étape 5.11.1.6.2

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$

Étape 5.12

Divisez chaque terme dans $- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.12.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = C$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})}{- 1} = \frac{C}{- 1}$

Étape 5.12.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.12.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})}{1} = \frac{C}{- 1}$

Étape 5.12.2.2

Divisez $\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})$ par $1$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = \frac{C}{- 1}$

Étape 5.12.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.12.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - 1 \cdot C$

Étape 5.12.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - C$

Étape 5.13

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}})} = e^{- C}$

Étape 5.14

Réécrivez $\ln (\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}) = - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}}$

Étape 5.15

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.15.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = e^{- C}$ .

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} = e^{- C}$

Étape 5.15.2

Multipliez les deux côtés par ${| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.15.3

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.15.3.1

Annulez le facteur commun de ${| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.15.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{{| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}} = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Étape 5.15.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = e^{- C} {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = C {| 2 x + 1 |}^{\frac{3}{2}}$