Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - 2 y = y^{2}$

Étape 1

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{- 1}$

Étape 3

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ par rapport à $x$ .

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Étape 4.1

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.3.1

Multipliez $v$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $- \frac{v'}{v^{2}}$ et $y$ par $v^{- 1}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} - 2 y = y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} - 2 v^{- 1} = {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d v}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - 2 \frac{1}{v} = {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6.1.1.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{v}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + \frac{- 2}{v} = {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6.1.1.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{2}{v} = {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6.1.1.2

Simplifiez ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 6.1.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 6.1.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{2}{v} = v^{- 1 \cdot 2}$

Étape 6.1.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{2}{v} = v^{- 2}$

Étape 6.1.1.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} - \frac{2}{v} = \frac{1}{v^{2}}$

Étape 6.1.1.3

Ajoutez $\frac{2}{v}$ aux deux côtés de l’équation.

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} + \frac{2}{v}$

Étape 6.1.1.4

Divisez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} + \frac{2}{v}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{1}{v^{2}} + \frac{2}{v}$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{- 1} = \frac{\frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{2}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}}{1} = \frac{\frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{2}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.2.2

Divisez $\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ par $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = \frac{\frac{1}{v^{2}}}{- 1} + \frac{\frac{2}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.4.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{1}{v^{2}}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - 1 \cdot \frac{1}{v^{2}} + \frac{\frac{2}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{1}{v^{2}}$ comme $- \frac{1}{v^{2}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} + \frac{\frac{2}{v}}{- 1}$

Étape 6.1.1.4.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{2}{v}}{- 1}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} - 1 \cdot \frac{2}{v}$

Étape 6.1.1.4.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot \frac{2}{v}$ comme $- \frac{2}{v}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} = - \frac{1}{v^{2}} - \frac{2}{v}$

Étape 6.1.1.5

Multipliez les deux côtés par $v^{2}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{1}{v^{2}} - \frac{2}{v}) v^{2}$

Étape 6.1.1.6

Simplifiez

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Étape 6.1.1.6.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.6.1.1

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 6.1.1.6.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} v^{2} = (- \frac{1}{v^{2}} - \frac{2}{v}) v^{2}$

Étape 6.1.1.6.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = (- \frac{1}{v^{2}} - \frac{2}{v}) v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.6.2.1

Simplifiez $(- \frac{1}{v^{2}} - \frac{2}{v}) v^{2}$ .

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Étape 6.1.1.6.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v^{2}} v^{2} - \frac{2}{v} v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.2

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 6.1.1.6.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{v^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{2}} v^{2} - \frac{2}{v} v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v^{2}} v^{2} - \frac{2}{v} v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = - 1 - \frac{2}{v} v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.3

Annulez le facteur commun de $v$ .

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Étape 6.1.1.6.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{v}$ dans le numérateur.

$\frac{d v}{d x} = - 1 + \frac{- 2}{v} v^{2}$

Étape 6.1.1.6.2.1.3.2

Factorisez $v$ à partir de $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = - 1 + \frac{- 2}{v} (v \cdot v)$

Étape 6.1.1.6.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d v}{d x} = - 1 + \frac{- 2}{v} (v \cdot v)$

Étape 6.1.1.6.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d v}{d x} = - 1 - 2 v$

Étape 6.1.1.6.2.1.4

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $- 2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = - 2 v - 1$

Étape 6.1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{- 2 v - 1}$ .

$\frac{1}{- 2 v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{- 2 v - 1} (- 2 v - 1)$

Étape 6.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{- 2 v - 1}$ par $- 2 v - 1$ .

$\frac{1}{- 2 v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v - 1}{- 2 v - 1}$

Étape 6.1.3.2

Annulez le facteur commun de $- 2 v - 1$ .

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Étape 6.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{- 2 v - 1} \frac{d v}{d x} = \frac{- 2 v - 1}{- 2 v - 1}$

Étape 6.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 2 v - 1} \frac{d v}{d x} = 1$

Étape 6.1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{- 2 v - 1} d v = 1 d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{- 2 v - 1} d v = \int d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Laissez $u = - 2 v - 1$ . Alors $d u = - 2 d v$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d v$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Laissez $u = - 2 v - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d v}$ .

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Étape 6.2.2.1.1.1

Différenciez $- 2 v - 1$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v - 1]$

Étape 6.2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 v - 1$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$\frac{d}{d v} [- 2 v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Étape 6.2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

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Étape 6.2.2.1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- 2 v$ par rapport à $v$ est $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$- 2 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$

Étape 6.2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Étape 6.2.2.1.1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 + \frac{d}{d v} [- 1]$

Étape 6.2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 6.2.2.1.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $v$ est $0$ .

$- 2 + 0$

Étape 6.2.2.1.1.4.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$- 2$

Étape 6.2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int d x$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int d x$

Étape 6.2.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int d x$

Étape 6.2.2.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Étape 6.2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int d x$

Étape 6.2.2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Étape 6.2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Étape 6.2.2.6

Simplifiez

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Étape 6.2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- 2 v - 1$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 1 |) + C_{1} = \int d x$

Étape 6.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 1 |) + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 1 |) = x + C$

Étape 6.3

Résolvez $v$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 1 |)) = - 2 (x + C)$

Étape 6.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| - 2 v - 1 |))$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Associez $\ln (| - 2 v - 1 |)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| - 2 v - 1 |)}{2}) = - 2 (x + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| - 2 v - 1 |)}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- \ln (| - 2 v - 1 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| - 2 v - 1 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| - 2 v - 1 |)}{2} = - 2 (x + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| - 2 v - 1 |) = - 2 (x + C)$

Étape 6.3.2.1.1.3

Multipliez.

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Étape 6.3.2.1.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| - 2 v - 1 |) = - 2 (x + C)$

Étape 6.3.2.1.1.3.2

Multipliez $\ln (| - 2 v - 1 |)$ par $1$ .

$\ln (| - 2 v - 1 |) = - 2 (x + C)$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| - 2 v - 1 |) = - 2 x - 2 C$

Étape 6.3.3

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| - 2 v - 1 |)} = e^{- 2 x - 2 C}$

Étape 6.3.4

Réécrivez $\ln (| - 2 v - 1 |) = - 2 x - 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 x - 2 C} = | - 2 v - 1 |$

Étape 6.3.5

Résolvez $v$ .

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Étape 6.3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| - 2 v - 1 | = e^{- 2 x - 2 C}$ .

$| - 2 v - 1 | = e^{- 2 x - 2 C}$

Étape 6.3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$- 2 v - 1 = \pm e^{- 2 x - 2 C}$

Étape 6.3.5.3

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 1$

Étape 6.3.5.4

Divisez chaque terme dans $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 1$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 6.3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $- 2 v = \pm e^{- 2 x - 2 C} + 1$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

Étape 6.3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 6.3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 v}{- 2} = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

Étape 6.3.5.4.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2} + \frac{1}{- 2}$

Étape 6.3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.5.4.3.1.1

Simplifiez $\frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{- 2}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} + \frac{1}{- 2}$

Étape 6.3.5.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C}}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 6.3.5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x - 2 C} - 1}{2}$

Étape 6.4

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$v = \frac{\pm e^{- 2 x + C} - 1}{2}$

Étape 6.4.2

Réécrivez $e^{- 2 x + C}$ comme $e^{- 2 x} e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{- 2 x} e^{C} - 1}{2}$

Étape 6.4.3

Remettez dans l’ordre $e^{- 2 x}$ et $e^{C}$ .

$v = \frac{\pm e^{C} e^{- 2 x} - 1}{2}$

Étape 6.4.4

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$v = \frac{C e^{- 2 x} - 1}{2}$

Étape 7

Remplacez $v$ par $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = \frac{C e^{- 2 x} - 1}{2}$