Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{e^{2 y}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $e^{2 y}$ .

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{2 x}{e^{2 y}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $e^{2 y}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{2 x}{e^{2 y}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$e^{2 y} d y = 2 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int e^{2 y} d y = \int 2 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 2 y$ . Alors $d u = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 2 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 2.2.1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int 2 x d x$

Étape 2.2.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u = \int 2 x d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int 2 x d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C_{1}) = \int 2 x d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} e^{u} + C_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int 2 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 2 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{2}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 1 x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.3

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (x^{2} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{2 y} = 2 (x^{2} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{2 y} = 2 x^{2} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (2 x^{2} + 2 K)$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{2 y})$ en déplaçant $2 y$ hors du logarithme.

$2 y \ln (e) = \ln (2 x^{2} + 2 K)$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (2 x^{2} + 2 K)$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 y = \ln (2 x^{2} + 2 K)$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (2 x^{2} + 2 K)$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (2 x^{2} + 2 K)$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 x^{2} + 2 K)}{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (2 x^{2} + 2 K)}{2}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (2 x^{2} + 2 K)}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\ln (2 x^{2} + K)}{2}$