Calcul infinitésimal Exemples

$(\cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}) d x + (\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = \cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\cos (2 y)]$ .

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \cos (y)$ et $g (y) = 2 y$ .

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Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Étape 1.3.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (u) \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) \frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Étape 1.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Étape 1.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (2 y) \cdot 2 + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) + \frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 3 x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3 x^{2} y^{2}$ par rapport à $y$ est $- 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) - 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) - 3 x^{2} (2 y)$

Étape 1.4.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 \sin (2 y) - 6 x^{2} y$

Étape 1.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Étape 2.2.2

Comme $\cos (2 y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\cos (2 y)$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x \sin (2 y)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 2 \sin (2 y)$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x \sin (2 y)$ par rapport à $x$ est $- 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Étape 2.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} y]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{3} y$ par rapport à $x$ est $- 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) - 2 y \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) - 2 y (3 x^{2})$

Étape 2.4.3

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - 2 \sin (2 y) - 6 y x^{2}$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Soustrayez $2 \sin (2 y)$ de $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \sin (2 y) - 6 y x^{2}$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$ .

$- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y) = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y) = - 6 x^{2} y - 2 \sin (2 y)$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2} d x$

Étape 5

Intégrez $M (x, y) = \cos (2 y) - 3 x^{2} y^{2}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int \cos (2 y) d x + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

Étape 5.2

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + C + \int - 3 x^{2} y^{2} d x$

Étape 5.3

Comme $- 3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3 y^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + C - 3 y^{2} \int x^{2} d x$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x + C - 3 y^{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 5.5

Simplifiez

$f (x, y) = \cos (2 y) x - 3 \cdot \frac{1}{3} y^{2} x^{3} + C$

Étape 5.6

Simplifiez

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Étape 5.6.1

Associez $- 3$ et $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{- 3}{3} y^{2} x^{3} + C$

Étape 5.6.2

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 5.6.2.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{3 \cdot - 1}{3} y^{2} x^{3} + C$

Étape 5.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.6.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} y^{2} x^{3} + C$

Étape 5.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} y^{2} x^{3} + C$

Étape 5.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \cos (2 y) x + \frac{- 1}{1} y^{2} x^{3} + C$

Étape 5.6.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\cos (2 y) x]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\cos (2 y) x$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [\cos (2 y)]$ .

$x \frac{d}{d y} [\cos (2 y)] + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ est $f' (g (y)) g' (y)$ où $f (y) = \cos (y)$ et $g (y) = 2 y$ .

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Étape 8.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Étape 8.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$x (- \sin (u) \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Étape 8.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y$ .

$x (- \sin (2 y) \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Étape 8.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- \sin (2 y) (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x (- \sin (2 y) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Étape 8.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$x (- \sin (2 y) \cdot 2) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Étape 8.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) + \frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{2} x^{3}]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $- x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{2} x^{3}$ par rapport à $y$ est $- x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) - x^{3} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) - x^{3} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Étape 8.4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) - 2 x^{3} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x (- 2 \sin (2 y)) - 2 x^{3} y + \frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Étape 8.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Ajoutez $2 x \sin (2 y)$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - 2 x^{3} y = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x \sin (2 y)$

Étape 9.1.2

Ajoutez $2 x^{3} y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x \sin (2 y) + 2 x^{3} y$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $\cos (2 y) - 2 x \sin (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x \sin (2 y) + 2 x^{3} y$ .

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Étape 9.1.3.1

Additionnez $- 2 x \sin (2 y)$ et $2 x \sin (2 y)$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x^{3} y + 0 + 2 x^{3} y$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $\cos (2 y) - 2 x^{3} y$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) - 2 x^{3} y + 2 x^{3} y$

Étape 9.1.3.3

Additionnez $- 2 x^{3} y$ et $2 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y) + 0$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $\cos (2 y)$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = \cos (2 y)$

Étape 10

Déterminez la primitive de $\cos (2 y)$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = \cos (2 y)$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \cos (2 y) d y$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \cos (2 y) d y$

Étape 10.3

Laissez $u = 2 y$ . Alors $d u = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 10.3.1

Laissez $u = 2 y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 10.3.1.1

Différenciez $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 10.3.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 10.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 10.3.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$g (y) = \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 10.4

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Étape 10.5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Étape 10.6

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$g (y) = \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Étape 10.7

Simplifiez

$g (y) = \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Étape 10.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y$ .

$g (y) = \frac{1}{2} \sin (2 y) + C$

Étape 11

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + g (y)$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{1}{2} \sin (2 y) + C$

Étape 12

Simplifiez $f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{1}{2} \sin (2 y) + C$ .

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Étape 12.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 y)$ .

$f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{\sin (2 y)}{2} + C$

Étape 12.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = \cos (2 y) x - y^{2} x^{3} + \frac{\sin (2 y)}{2} + C$ .

$f (x, y) = x \cos (2 y) - y^{2} x^{3} + \frac{\sin (2 y)}{2} + C$