Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y^{2}}{1 + x}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x} y^{2}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (\frac{x^{2}}{1 + x} y^{2})$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $\frac{x^{2}}{1 + x} y^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x^{2}}{1 + x})$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} \frac{x^{2}}{1 + x})$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{1 + x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2.2.3

Réécrivez $- y^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{1 + x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $x$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{x^{2}}{x + 1} d x$

Étape 2.3.2

Divisez $x^{2}$ par $x + 1$ .

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Étape 2.3.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 2.3.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Étape 2.3.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Étape 2.3.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + x$

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Étape 2.3.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$

Étape 2.3.2.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Étape 2.3.2.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$

Étape 2.3.2.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					-	$x$	-	$1$

Étape 2.3.2.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x - 1$

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$

Étape 2.3.2.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					-	$x$	+	$0$
					+	$x$	+	$1$
							+	$1$

Étape 2.3.2.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x - 1 + \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 1 d x + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - x + C_{3} + \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.3.6

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.6.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.6.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.3.6.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.6.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.6.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - x + C_{3} + \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.7

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - x + C_{3} + \ln (| u |) + C_{4}$

Étape 2.3.8

Simplifiez

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| u |) + C_{5}$

Étape 2.3.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez $\frac{1}{2} x^{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$ .

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Étape 3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y} = \frac{x^{2}}{2} - x + \ln (| x + 1 |) + C$

Étape 3.1.2

Pour écrire $\ln (| x + 1 |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{y} = - x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot \frac{2}{2} + C$

Étape 3.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1.3.1

Associez $\ln (| x + 1 |)$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{y} = - x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2} + C$

Étape 3.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{y} = - x + \frac{x^{2} + \ln (| x + 1 |) \cdot 2}{2} + C$

Étape 3.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $\ln (| x + 1 |) \cdot 2$ .

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Étape 3.1.4.1.1

Remettez dans l’ordre $\ln (| x + 1 |)$ et $2$ .

$- \frac{1}{y} = - x + \frac{x^{2} + 2 \cdot \ln (| x + 1 |)}{2} + C$

Étape 3.1.4.1.2

Simplifiez $2 \cdot \ln (| x + 1 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$- \frac{1}{y} = - x + \frac{x^{2} + \ln ({| x + 1 |}^{2})}{2} + C$

Étape 3.1.4.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x + 1 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$- \frac{1}{y} = - x + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2})}{2} + C$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 2, 1$

Étape 3.2.2

Comme $y, 1, 2, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 2, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $y^{1}$ .

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 3.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 3.2.5

$2$ n’a pas de facteur hormis $1$ et $2$ .

$2$ est un nombre premier

Étape 3.2.6

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 3.2.7

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 2, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2$

Étape 3.2.8

Le facteur pour $y^{1}$ est $y$ lui-même.

$y^{1} = y$

$y$ se produit $1$ fois.

Étape 3.2.9

Le plus petit multiple commun de $y^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$y$

Étape 3.2.10

Le plus petit multiple commun pour $y, 1, 2, 1$ est la partie numérique $2$ multipliée par la partie variable.

$2 y$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = - x + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2})}{2} + C$ par $2 y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = - x + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2})}{2} + C$ par $2 y$ .

$- \frac{1}{y} (2 y) = - x (2 y) + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} (2 y) = - x (2 y) + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

Étape 3.3.2.1.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y$ .

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - x (2 y) + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

Étape 3.3.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} (y \cdot 2) = - x (2 y) + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

Étape 3.3.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 2 = - x (2 y) + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 = - x (2 y) + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 = - 1 \cdot 2 x y + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

Étape 3.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 = - 2 x y + \frac{x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2})}{2} (2 y) + C (2 y)$

Étape 3.3.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 = - 2 x y + 2 \frac{x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2})}{2} y + C (2 y)$

Étape 3.3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$- 2 = - 2 x y + 2 \frac{x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2})}{2} y + C (2 y)$

Étape 3.3.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$- 2 = - 2 x y + (x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2})) y + C (2 y)$

Étape 3.3.3.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 = - 2 x y + x^{2} y + \ln ({(x + 1)}^{2}) y + C (2 y)$

Étape 3.3.3.1.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 2 = - 2 x y + x^{2} y + \ln ({(x + 1)}^{2}) y + 2 C y$

Étape 3.3.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 2 x y + x^{2} y + \ln ({(x + 1)}^{2}) y + 2 C y$ .

$- 2 = - 2 x y + x^{2} y + y \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C y$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 x y + x^{2} y + y \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C y = - 2$ .

$- 2 x y + x^{2} y + y \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C y = - 2$

Étape 3.4.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 x y + x^{2} y + y \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C y$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $- 2 x y$ .

$y (- 2 x) + x^{2} y + y \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C y = - 2$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $y$ à partir de $x^{2} y$ .

$y (- 2 x) + y x^{2} + y \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C y = - 2$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y \ln ({(x + 1)}^{2})$ .

$y (- 2 x) + y x^{2} + y (\ln ({(x + 1)}^{2})) + 2 C y = - 2$

Étape 3.4.2.4

Factorisez $y$ à partir de $2 C y$ .

$y (- 2 x) + y x^{2} + y (\ln ({(x + 1)}^{2})) + y (2 C) = - 2$

Étape 3.4.2.5

Factorisez $y$ à partir de $y (- 2 x) + y x^{2}$ .

$y (- 2 x + x^{2}) + y (\ln ({(x + 1)}^{2})) + y (2 C) = - 2$

Étape 3.4.2.6

Factorisez $y$ à partir de $y (- 2 x + x^{2}) + y (\ln ({(x + 1)}^{2}))$ .

$y (- 2 x + x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2})) + y (2 C) = - 2$

Étape 3.4.2.7

Factorisez $y$ à partir de $y (- 2 x + x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2})) + y (2 C)$ .

$y (- 2 x + x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C) = - 2$

Étape 3.4.3

Divisez chaque terme dans $y (- 2 x + x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C) = - 2$ par $- 2 x + x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C$ et simplifiez.

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Étape 3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $y (- 2 x + x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C) = - 2$ par $- 2 x + x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C$ .

$\frac{y (- 2 x + x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C)}{- 2 x + x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C} = \frac{- 2}{- 2 x + x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2 x + x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C$ .

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Étape 3.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (- 2 x + x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C)}{- 2 x + x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C} = \frac{- 2}{- 2 x + x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 2}{- 2 x + x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2}{- 2 x + x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.4.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y = - \frac{2}{- (2 x) + x^{2} + \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.4.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $x^{2}$ .

$y = - \frac{2}{- (2 x) - 1 (- x^{2}) + \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.4.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - 1 (- x^{2})$ .

$y = - \frac{2}{- (2 x - x^{2}) + \ln ({(x + 1)}^{2}) + 2 C}$

Étape 3.4.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln ({(x + 1)}^{2})$ .

$y = - \frac{2}{- (2 x - x^{2}) - 1 (- \ln ({(x + 1)}^{2})) + 2 C}$

Étape 3.4.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x - x^{2}) - 1 (- \ln ({(x + 1)}^{2}))$ .

$y = - \frac{2}{- (2 x - x^{2} - \ln ({(x + 1)}^{2})) + 2 C}$

Étape 3.4.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $2 C$ .

$y = - \frac{2}{- (2 x - x^{2} - \ln ({(x + 1)}^{2})) - (- 2 C)}$

Étape 3.4.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x - x^{2} - \ln ({(x + 1)}^{2})) - (- 2 C)$ .

$y = - \frac{2}{- (2 x - x^{2} - \ln ({(x + 1)}^{2}) - 2 C)}$

Étape 3.4.3.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.3.3.9.1

Réécrivez $- (2 x - x^{2} - \ln ({(x + 1)}^{2}) - 2 C)$ comme $- 1 (2 x - x^{2} - \ln ({(x + 1)}^{2}) - 2 C)$ .

$y = - \frac{2}{- 1 (2 x - x^{2} - \ln ({(x + 1)}^{2}) - 2 C)}$

Étape 3.4.3.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - - \frac{2}{2 x - x^{2} - \ln ({(x + 1)}^{2}) - 2 C}$

Étape 3.4.3.3.9.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = 1 \frac{2}{2 x - x^{2} - \ln ({(x + 1)}^{2}) - 2 C}$

Étape 3.4.3.3.9.4

Multipliez $\frac{2}{2 x - x^{2} - \ln ({(x + 1)}^{2}) - 2 C}$ par $1$ .

$y = \frac{2}{2 x - x^{2} - \ln ({(x + 1)}^{2}) - 2 C}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{2}{2 x - x^{2} - \ln ({(x + 1)}^{2}) + C}$