Calcul infinitésimal Exemples

$2 (2 x y + 4 y - 3) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 (2 x y + 4 y - 3)$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (2 x y + 4 y - 3)]$

Étape 1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 (2 x y + 4 y - 3)$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [2 x y + 4 y - 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [2 x y + 4 y - 3]$

Étape 1.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y + 4 y - 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Étape 1.4

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Étape 1.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + \frac{d}{d y} [4 y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Étape 1.7

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 y$ par rapport à $y$ est $4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 3])$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 3])$

Étape 1.9

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 + \frac{d}{d y} [- 3])$

Étape 1.10

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4 + 0)$

Étape 1.11

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x + 4)$

Étape 1.12

Simplifiez

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Étape 1.12.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 x) + 2 \cdot 4$

Étape 1.12.2

Associez des termes.

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Étape 1.12.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 2 \cdot 4$

Étape 1.12.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 x + 8$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = {(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{2}]$

Étape 2.2

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2)]$

Étape 2.3

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x + 2) + 2 (x + 2)]$

Étape 2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)]$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2]$

Étape 2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2]$

Étape 2.4.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2]$

Étape 2.4.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2 x + 4]$

Étape 2.4.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4]$

Étape 2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.9

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 2.10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4 + 0$

Étape 2.11

Additionnez $2 x + 4$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 4$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 x + 8$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 4$ .

$4 x + 8 = 2 x + 4$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$4 x + 8 = 2 x + 4$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $4 x + 8$ .

$\frac{4 x + 8 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $2 x + 4$ .

$\frac{4 x + 8 - (2 x + 4)}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{4 x + 8 - (2 x + 4)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 x + 8 - (2 x) - 1 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{4 x + 8 - 2 x - 1 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 x + 8 - 2 x - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.3.2.4

Soustrayez $2 x$ de $4 x$ .

$\frac{2 x + 8 - 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.3.2.5

Soustrayez $4$ de $8$ .

$\frac{2 x + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.3.2.6

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 4$ .

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Étape 4.3.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 4}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.3.2.6.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 x + 2 \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.3.2.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (x + 2)}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun à $x + 2$ et ${(x + 2)}^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $2 (x + 2)$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 2}{{(x + 2)}^{2}}$

Étape 4.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.3.2.1

Factorisez $x + 2$ à partir de ${(x + 2)}^{2}$ .

$\frac{(x + 2) \cdot 2}{(x + 2) (x + 2)}$

Étape 4.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 2) \cdot 2}{(x + 2) (x + 2)}$

Étape 4.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{x + 2}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x + 2} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{2}{x + 2} d x}$ .

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Étape 5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x + 2} d x}$

Étape 5.2

Laissez $u = x + 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.2.1

Laissez $u = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.2.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 5.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 5.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 5.2.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| u |) + C)}$

Étape 5.4

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| u |)} + C$

Étape 5.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x + 2 |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $2 \ln (| x + 2 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 2 |}^{2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| x + 2 |}^{2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x + 2 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = {(x + 2)}^{2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$μ (x, y) = (x + 2) (x + 2) + C$

Étape 5.6.5

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.6.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$μ (x, y) = x (x + 2) + 2 (x + 2) + C$

Étape 5.6.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$μ (x, y) = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + C$

Étape 5.6.5.3

Appliquez la propriété distributive.

$μ (x, y) = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + C$

Étape 5.6.6

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.6.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.6.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$μ (x, y) = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + C$

Étape 5.6.6.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$μ (x, y) = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + C$

Étape 5.6.6.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$μ (x, y) = x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + C$

Étape 5.6.6.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$μ (x, y) = x^{2} + 4 x + 4 + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $2 (2 x y + 4 y - 3) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$ par le facteur d’intégration $x^{2} + 4 x + 4$ .

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Étape 6.1

Multipliez $2 (2 x y + 4 y - 3)$ par $x^{2} + 4 x + 4$ .

$2 (2 x y + 4 y - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(2 (2 x y) + 2 (4 y) + 2 \cdot - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.3

Simplifiez

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Étape 6.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$(4 (x y) + 2 (4 y) + 2 \cdot - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$(4 (x y) + 8 y + 2 \cdot - 3) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.3.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$(4 (x y) + 8 y - 6) (x^{2} + 4 x + 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.4

Développez $(4 x y + 8 y - 6) (x^{2} + 4 x + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$(4 x y x^{2} + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.5.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(4 (x^{2} x) y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.5.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.5.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(4 (x^{2} x^{1}) y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.5.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 x^{2 + 1} y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.5.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(4 x^{3} y + 4 x y (4 x) + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.5.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.2.1

Déplacez $x$ .

$(4 x^{3} y + 4 (x \cdot x) y \cdot 4 + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.5.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(4 x^{3} y + 4 x^{2} y \cdot 4 + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.5.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 4 x y \cdot 4 + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.5.4

Multipliez $4$ par $4$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 8 y (4 x) + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.5.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 8 \cdot 4 y x + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.5.6

Multipliez $8$ par $4$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 8 y \cdot 4 - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.5.7

Multipliez $4$ par $8$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 6 (4 x) - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.5.8

Multipliez $4$ par $- 6$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 6 \cdot 4) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.5.9

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 16 x y + 8 y x^{2} + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.6

Additionnez $16 x^{2} y$ et $8 y x^{2}$ .

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Étape 6.6.1

Déplacez $y$ .

$(4 x^{3} y + 16 x^{2} y + 8 x^{2} y + 16 x y + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.6.2

Additionnez $16 x^{2} y$ et $8 x^{2} y$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 16 x y + 32 y x + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.7

Additionnez $16 x y$ et $32 y x$ .

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Étape 6.7.1

Déplacez $y$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 16 x y + 32 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.7.2

Additionnez $16 x y$ et $32 x y$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} d y = 0$

Étape 6.8

Multipliez ${(x + 2)}^{2}$ par $x^{2} + 4 x + 4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + {(x + 2)}^{2} (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Étape 6.9

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x + 2) (x + 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Étape 6.10

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x (x + 2) + 2 (x + 2)) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Étape 6.10.2

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Étape 6.10.3

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Étape 6.11

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.11.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Étape 6.11.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Étape 6.11.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Étape 6.11.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} + 4 x + 4) d y = 0$

Étape 6.12

Développez $(x^{2} + 4 x + 4) (x^{2} + 4 x + 4)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2} x^{2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.13.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.13.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{2 + 2} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.3

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.13.3.1

Déplacez $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.3.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 6.13.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4 + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.4

Déplacez $4$ à gauche de $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 \cdot x^{2} + 4 x \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.5

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.13.5.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 (x^{2} x) + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.5.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 6.13.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 (x^{2} x^{1}) + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{2 + 1} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.6

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.7

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.13.7.1

Déplacez $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.7.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.8

Multipliez $4$ par $4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 4 x \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.9

Multipliez $4$ par $4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.10

Multipliez $4$ par $4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 4 \cdot 4) d y = 0$

Étape 6.13.11

Multipliez $4$ par $4$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 4 x^{3} + 4 x^{2} + 4 x^{3} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 16) d y = 0$

Étape 6.14

Additionnez $4 x^{3}$ et $4 x^{3}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 4 x^{2} + 16 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 16) d y = 0$

Étape 6.15

Additionnez $4 x^{2}$ et $16 x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 20 x^{2} + 16 x + 4 x^{2} + 16 x + 16) d y = 0$

Étape 6.16

Additionnez $20 x^{2}$ et $4 x^{2}$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 16 x + 16 x + 16) d y = 0$

Étape 6.17

Additionnez $16 x$ et $16 x$ .

$(4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24) d x + (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16 d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $(x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$y (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$y (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.3.4

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{3}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$y (4 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.3.6

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x^{2}$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [32 x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.3.8

Comme $32$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $32 x$ par rapport à $x$ est $32 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + 32 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.3.10

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y (4 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + 24 (2 x) + 32 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.3.11

Multipliez $3$ par $8$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 24 (2 x) + 32 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.3.12

Multipliez $2$ par $24$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.3.13

Multipliez $32$ par $1$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.3.14

Additionnez $4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32$ et $0$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y (4 x^{3} + 24 x^{2} + 48 x + 32) + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (4 x^{3}) + y (24 x^{2}) + y (48 x) + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.5.2

Associez des termes.

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Étape 11.5.2.1

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$4 \cdot y x^{3} + y (24 x^{2}) + y (48 x) + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.5.2.2

Déplacez $24$ à gauche de $y$ .

$4 y x^{3} + 24 \cdot y x^{2} + y (48 x) + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.5.2.3

Déplacez $48$ à gauche de $y$ .

$4 y x^{3} + 24 y x^{2} + 48 \cdot y x + y \cdot 32 + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.5.2.4

Déplacez $32$ à gauche de $y$ .

$4 y x^{3} + 24 y x^{2} + 48 y x + 32 y + \frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $4 x^{3} y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y$

Étape 12.1.2

Soustrayez $24 x^{2} y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + 48 x y + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y$

Étape 12.1.3

Soustrayez $48 x y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + 32 y = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y - 48 x y$

Étape 12.1.4

Soustrayez $32 y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$

Étape 12.1.5

Associez les termes opposés dans $4 x^{3} y + 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 4 x^{3} y - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$ .

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Étape 12.1.5.1

Soustrayez $4 x^{3} y$ de $4 x^{3} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0 - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$

Étape 12.1.5.2

Additionnez $24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 24 x^{2} y + 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 24 x^{2} y - 48 x y - 32 y$

Étape 12.1.5.3

Soustrayez $24 x^{2} y$ de $24 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0 - 48 x y - 32 y$

Étape 12.1.5.4

Additionnez $48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 48 x y + 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 48 x y - 32 y$

Étape 12.1.5.5

Soustrayez $48 x y$ de $48 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0 - 32 y$

Étape 12.1.5.6

Additionnez $32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 32 y - 6 x^{2} - 24 x - 24 - 32 y$

Étape 12.1.5.7

Soustrayez $32 y$ de $32 y$ .

$\frac{d g}{d x} = - 6 x^{2} - 24 x - 24 + 0$

Étape 12.1.5.8

Additionnez $- 6 x^{2} - 24 x - 24$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 6 x^{2} - 24 x - 24$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- 6 x^{2} - 24 x - 24$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = - 6 x^{2} - 24 x - 24$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - 6 x^{2} - 24 x - 24 d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - 6 x^{2} - 24 x - 24 d x$

Étape 13.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int - 6 x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int - 24 d x$

Étape 13.4

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - 6 \int x^{2} d x + \int - 24 x d x + \int - 24 d x$

Étape 13.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 24 x d x + \int - 24 d x$

Étape 13.6

Comme $- 24$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 24$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 24 \int x d x + \int - 24 d x$

Étape 13.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 24 d x$

Étape 13.8

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = - 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 24 x + C$

Étape 13.9

Simplifiez

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Étape 13.9.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$g (x) = - 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 24 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 24 x + C$

Étape 13.9.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$g (x) = - 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 24 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 24 x + C$

Étape 13.10

Simplifiez

$g (x) = - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16) y - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + C$

Étape 15

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = x^{4} y + 8 x^{3} y + 24 x^{2} y + 32 x y + 16 y - 2 x^{3} - 12 x^{2} - 24 x + C$