Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$ par $x y^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{3} - x^{3}$ par $x y^{2}$ .

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y^{2} \frac{d y}{d x}}{x y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} \frac{d y}{d x}}{y^{2}} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Étape 1.1.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{3}}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1.1.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{x y^{2}} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Étape 1.1.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.1.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{y^{2} x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Étape 1.1.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} y}{y^{2} x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Étape 1.1.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x^{3}}{x y^{2}}$

Étape 1.1.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 1.1.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x y^{2}}$

Étape 1.1.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x (y^{2})}$

Étape 1.1.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x (- x^{2})}{x y^{2}}$

Étape 1.1.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{- x^{2}}{y^{2}}$

Étape 1.1.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation différentielle comme $f (\frac{y}{x})$ .

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ comme ${(\frac{x}{y})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {(\frac{x}{y})}^{2}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $\frac{x}{y}$ comme ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} - {({(\frac{y}{x})}^{- 1})}^{2}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = V - {(V^{- 1})}^{2}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - {(V^{- 1})}^{2}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(V^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 6.1.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{- 1 \cdot 2}$

Étape 6.1.1.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - V^{- 2}$

Étape 6.1.1.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V - \frac{1}{V^{2}}$

Étape 6.1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d V}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1.1.2.1

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = V - \frac{1}{V^{2}} - V$

Étape 6.1.1.2.2

Associez les termes opposés dans $V - \frac{1}{V^{2}} - V$ .

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Étape 6.1.1.2.2.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} + 0$

Étape 6.1.1.2.2.2

Additionnez $- \frac{1}{V^{2}}$ et $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{V^{2}}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{1}{V^{2}}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x V^{2}}$

Étape 6.1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} (- \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{V^{2}})$

Étape 6.1.4.2

Associez.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - V^{2} \frac{1 \cdot 1}{x V^{2}}$

Étape 6.1.4.3

Annulez le facteur commun de $V^{2}$ .

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Étape 6.1.4.3.1

Factorisez $V^{2}$ à partir de $- V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{x V^{2}}$

Étape 6.1.4.3.2

Factorisez $V^{2}$ à partir de $x V^{2}$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{V^{2} x}$

Étape 6.1.4.3.3

Annulez le facteur commun.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = V^{2} \cdot - 1 \frac{1 \cdot 1}{V^{2} x}$

Étape 6.1.4.3.4

Réécrivez l’expression.

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1 \cdot 1}{x}$

Étape 6.1.4.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$V^{2} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$V^{2} d V = - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int V^{2} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $V^{2}$ par rapport à $V$ est $\frac{1}{3} V^{3}$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez

$\frac{1}{3} V^{3} + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{3} V^{3} = - \ln (| x |) + C$

Étape 6.3

Résolvez $V$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} V^{3}) = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} V^{3})$ .

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Étape 6.3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $V^{3}$ .

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{V^{3}}{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$V^{3} = 3 (- \ln (| x |) + C)$

Étape 6.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.2.1

Simplifiez $3 (- \ln (| x |) + C)$ .

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Étape 6.3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$V^{3} = 3 (- \ln (| x |)) + 3 C$

Étape 6.3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$V^{3} = - 3 \ln (| x |) + 3 C$

Étape 6.3.3

Simplifiez $- 3 \ln (| x |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$V^{3} = - \ln ({| x |}^{3}) + 3 C$

Étape 6.3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + 3 C}$

Étape 6.4

Simplifiez la constante d’intégration.

$V = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$

Étape 8

Résolvez $\frac{y}{x} = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C}$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$

Étape 8.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = \sqrt[3]{- \ln ({| x |}^{3}) + C} x$