Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - x^{2} + y^{2} - x^{2} y^{2}}{x^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez.

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Étape 1.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - x^{2}) + y^{2} - x^{2} y^{2}}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 (1 - x^{2}) + y^{2} \cdot (1 - x^{2})}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $1 - x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - x^{2}) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

Étape 1.1.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1^{2} - x^{2}) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

Étape 1.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x) (1 + y^{2})}{x^{2}}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2})$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} (\frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2}))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $1 + y^{2}$ à partir de $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} (1 + y^{2})$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}})$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}})$

Étape 1.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 + x) (1 - x) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3

Développez $(1 + x) (1 - x) x^{- 2}$ .

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Étape 2.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 (1 - x) + x (1 - x)) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\arctan (y) + C_{1} = \int (1 \cdot 1 + 1 (- x)) x^{- 2} + (x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 (- x) x^{- 2} + (x \cdot 1 + x (- x)) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 (- x) x^{- 2} + x \cdot 1 x^{- 2} + x (- x) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.7

Remettez dans l’ordre $x$ et $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 \cdot x \cdot x^{- 2} + x (- x) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.8

Remettez dans l’ordre $x$ et $- 1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 \cdot 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 \cdot x \cdot x^{- 2} - 1 \cdot x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.9

Multipliez $1$ par $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.10

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} + 1 \cdot - 1 x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.11

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.12

Factorisez le signe négatif.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x \cdot x^{- 2}) + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.13

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{1} x^{- 2}) + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.14

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{1 - 2} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.15

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + 1 x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.16

Multipliez $x$ par $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x \cdot x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.17

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{1} x^{- 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{1 - 2} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.19

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 x \cdot x \cdot x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.20

Factorisez le signe négatif.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x \cdot x) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.21

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{1} x) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.22

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{1} x^{1}) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.23

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{1 + 1} x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.24

Additionnez $1$ et $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{2} x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.25

Factorisez le signe négatif.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - (x^{2} x^{- 2}) d x$

Étape 2.3.3.26

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{2 - 2} d x$

Étape 2.3.3.27

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - x^{0} d x$

Étape 2.3.3.28

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 \cdot 1 d x$

Étape 2.3.3.29

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} + x^{- 1} - 1 d x$

Étape 2.3.3.30

Additionnez $- x^{- 1}$ et $x^{- 1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} + 0 - 1 d x$

Étape 2.3.3.31

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} - 1 d x$

Étape 2.3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\arctan (y) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int - 1 d x$

Étape 2.3.6

Appliquez la règle de la constante.

$\arctan (y) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - x + C_{3}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$\arctan (y) + C_{1} = - \frac{1}{x} - x + C_{4}$

Étape 2.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\arctan (y) + C_{1} = - x - \frac{1}{x} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\arctan (y) = - x - \frac{1}{x} + K$

Étape 3

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y = \tan (- x - \frac{1}{x} + K)$