Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = k \sqrt{t}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = k \sqrt{t} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int k \sqrt{t} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int k \sqrt{t} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $k$ est constant par rapport à $t$ , placez $k$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = k \int \sqrt{t} d t$

Étape 2.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{t}$ comme $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = k \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = k (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $k (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ comme $k \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = k \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

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Étape 2.3.4.2.1

Associez $k$ et $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{k \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $k$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot k}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.3

Associez $\frac{2 k}{3}$ et $t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 k t^{\frac{3}{2}}}{3} + C_{2}$

$y + C_{1} = \frac{2}{3} k t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} k + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} k + K$