Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{2 x}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{2 x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x |)}{2} + C$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{2} = C$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{2}$ .

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1.1

Réécrivez $\frac{\ln (| x |)}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) - (\frac{1}{2} \ln (| x |)) = C$

Étape 3.3.1.1.2

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (| x |)$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$\ln (| y |) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Étape 3.3.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Étape 3.4

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Étape 3.5

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.6

Résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Étape 3.6.2

Multipliez les deux côtés par ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} {| x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.6.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.3.1

Annulez le facteur commun de ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 3.6.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{2}}} {| x |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.6.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.6.4

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{2}}$