Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} + 9 y + 6 = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} + 8 y$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $8 y$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} + 9 y + 6 - 8 y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x}$

Étape 1.2

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} + 9 y - 8 y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} - 6$

Étape 1.3

Soustrayez $8 y$ de $9 y$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 6 x^{2} + \frac{d y}{d x} - 6$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$x \frac{d y}{d x} + y = \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6$

Étape 2

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $x y$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Étape 2.4

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Étape 2.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Étape 2.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6 d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int \frac{d y}{d x} + 6 x^{2} - 6 d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x y = \int \frac{d y}{d x} d x + \int 6 x^{2} d x + \int - 6 d x$

Étape 6.2

Appliquez la règle de la constante.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + \int 6 x^{2} d x + \int - 6 d x$

Étape 6.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 \int x^{2} d x + \int - 6 d x$

Étape 6.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 6 d x$

Étape 6.5

Appliquez la règle de la constante.

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 6 x + C$

Étape 6.6

Simplifiez

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Étape 6.6.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$x y = \frac{d y}{d x} x + C + 6 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 6 x + C$

Étape 6.6.2

Simplifiez

$x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $x y = \frac{d y}{d x} x + 2 x^{3} - 6 x + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\frac{d y}{d x} x}{x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{d y}{d x} + \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.2.2.5

Divisez $2 x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} + \frac{- 6 x}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 7.3.1.3.2

Divisez $- 6$ par $1$ .

$y = \frac{d y}{d x} + 2 x^{2} - 6 + \frac{C}{x}$