Calcul infinitésimal Exemples

$x y^{3} d x + (y + 1) e^{- x} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x y^{3} d x$ des deux côtés de l’équation.

$(y + 1) e^{- x} d y = - x y^{3} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ .

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x}$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $e^{- x} y^{3}$ .

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} ((y + 1) e^{- x}) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Étape 3.1.2

Factorisez $e^{- x}$ à partir de $(y + 1) e^{- x}$ .

$\frac{1}{e^{- x} (y^{3})} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Étape 3.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{- x} y^{3}} (e^{- x} (y + 1)) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Étape 3.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{3}} (y + 1) d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{y^{3}}$ par $y + 1$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (- x y^{3}) d x$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $y^{3}$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{e^{- x} y^{3}}$ dans le numérateur.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y^{3}$ à partir de $e^{- x} y^{3}$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (x y^{3}) d x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y^{3}$ à partir de $x y^{3}$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

Étape 3.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{y^{3} e^{- x}} (y^{3} x) d x$

Étape 3.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- 1}{e^{- x}} x d x$

Étape 3.5

Associez $\frac{- 1}{e^{- x}}$ et $x$ .

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = \frac{- x}{e^{- x}} d x$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{y + 1}{y^{3}} d y = - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y + 1}{y^{3}} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1.1

Retirez $y^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (y + 1) {(y^{3})}^{- 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (y + 1) y^{3 \cdot - 1} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int (y + 1) y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.2.2

Multipliez $(y + 1) y^{- 3}$ .

$\int y \cdot y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $y$ par $y^{- 3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.3.1.1

Multipliez $y$ par $y^{- 3}$ .

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Étape 4.2.3.1.1.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\int y^{1} y^{- 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.2.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int y^{1 - 3} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.2.3.1.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\int y^{- 2} + 1 y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $y^{- 3}$ par $1$ .

$\int y^{- 2} + y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.2.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y^{- 2} d y + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} + \int y^{- 3} d y = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.2.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 3}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{2} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.2.7

Simplifiez

$- \frac{1}{y} - \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.2.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = \int - \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int \frac{x}{e^{- x}} d x$

Étape 4.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.3.2.1

Inversez l’exposant de $e^{- x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x {(e^{- x})}^{- 1} d x$

Étape 4.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{- x})}^{- 1}$ .

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Étape 4.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{- x \cdot - 1} d x$

Étape 4.3.2.2.2

Multipliez $- x \cdot - 1$ .

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Étape 4.3.2.2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{1 x} d x$

Étape 4.3.2.2.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - \int x e^{x} d x$

Étape 4.3.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Étape 4.3.4

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{4}))$

Étape 4.3.5

Simplifiez

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} + C_{3} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} - \frac{1}{y} = - (x e^{x} - e^{x}) + K$