Calcul infinitésimal Exemples

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x = (1 - \ln (x)) d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $(1 - \ln (x)) d y$ des deux côtés de l’équation.

$(1 + \ln (x) + \frac{y}{x}) d x - (1 - \ln (x)) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1 + \ln (x) + \frac{y}{x}]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Étape 2.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Étape 2.2.3

Comme $\ln (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{y}{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y}{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x} \cdot 1$

Étape 2.3.3

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 0 + \frac{1}{x}$

Étape 2.4

Associez des termes.

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Étape 2.4.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{1}{x}$

Étape 2.4.2

Additionnez $0$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (1 - \ln (x))]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (1 - \ln (x))$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)]$

Étape 3.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Étape 3.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)])$

Étape 3.2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Étape 3.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.2.6

Multipliez.

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Étape 3.2.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.2.6.2

Multipliez $\frac{d}{d x} [\ln (x)]$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $\frac{1}{x}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$

Étape 4.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x}$ est une identité.

Étape 5

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (1 - \ln (x)) d y$

Étape 6

Intégrez $N (x, y) = - (1 - \ln (x))$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 6.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - (1 - \ln (x)) y + C$

Étape 6.2

Réécrivez $- (1 - \ln (x)) y + C$ comme $(- 1 + \ln (x)) y + C$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + C$

Étape 7

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$

Étape 8

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Étape 9

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 9.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y + g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Étape 9.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Étape 9.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [(- 1 + \ln (x)) y]$ .

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Étape 9.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $(- 1 + \ln (x)) y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)]$ .

$y \frac{d}{d x} [- 1 + \ln (x)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Étape 9.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 1 + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$y (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Étape 9.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y (0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Étape 9.3.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$y (0 + \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Étape 9.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{1}{x}$ .

$y \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Étape 9.3.6

Associez $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Étape 9.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{y}{x} + \frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Étape 9.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} = 1 + \ln (x) + \frac{y}{x}$

Étape 10

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 10.1

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 10.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 10.1.1.1

Soustrayez $\ln (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) = 1 + \frac{y}{x}$

Étape 10.1.1.2

Soustrayez $\frac{y}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x} = 1$

Étape 10.1.1.3

Associez les termes opposés dans $\frac{d g}{d x} + \frac{y}{x} - \ln (x) - \frac{y}{x}$ .

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Étape 10.1.1.3.1

Soustrayez $\frac{y}{x}$ de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d g}{d x} + 0 - \ln (x) = 1$

Étape 10.1.1.3.2

Additionnez $\frac{d g}{d x}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} - \ln (x) = 1$

Étape 10.1.2

Ajoutez $\ln (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$

Étape 11

Déterminez la primitive de $1 + \ln (x)$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 11.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 1 + \ln (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 1 + \ln (x) d x$

Étape 11.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 1 + \ln (x) d x$

Étape 11.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int d x + \int \ln (x) d x$

Étape 11.4

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = x + C + \int \ln (x) d x$

Étape 11.5

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \ln (x)$ et $d v = 1$ .

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int x \frac{1}{x} d x$

Étape 11.6

Simplifiez

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Étape 11.6.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Étape 11.6.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 11.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int \frac{x}{x} d x$

Étape 11.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - \int d x$

Étape 11.7

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = x + C + \ln (x) x - (x + C)$

Étape 11.8

Simplifiez

$g (x) = x + \ln (x) x - x + C$

Étape 11.9

Simplifiez

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Étape 11.9.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$g (x) = \ln (x) x + 0 + C$

Étape 11.9.2

Additionnez $\ln (x) x$ et $0$ .

$g (x) = \ln (x) x + C$

Étape 12

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$

Étape 13

Simplifiez $f (x, y) = (- 1 + \ln (x)) y + \ln (x) x + C$ .

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = - 1 y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

Étape 13.1.2

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$

Étape 13.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = - y + \ln (x) y + \ln (x) x + C$ .

$f (x, y) = - y + y \ln (x) + x \ln (x) + C$