Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3) d x + (3 x^{2} y^{2} - 4 x) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3]$

Étape 1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x y^{3}$ par rapport à $y$ est $2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 4 y$ par rapport à $y$ est $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 4 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 4 + \frac{d}{d y} [4 x] + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.5.1

Comme $4 x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 4 + 0 + \frac{d}{d y} [- 3]$

Étape 1.5.2

Comme $- 3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 4 + 0 + 0$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Associez des termes.

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Étape 1.6.1.1

Additionnez $6 x y^{2} - 4$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 4 + 0$

Étape 1.6.1.2

Additionnez $6 x y^{2} - 4$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} - 4$

Étape 1.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x - 4$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - 4 x]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} y^{2} - 4 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 4 \cdot 1$

Étape 2.4.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x - 4$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $6 y^{2} x - 4$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $6 y^{2} x - 4$ .

$6 y^{2} x - 4 = 6 y^{2} x - 4$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$6 y^{2} x - 4 = 6 y^{2} x - 4$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{2} - 4 x d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - 4 x$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = \int 3 x^{2} y^{2} d y + \int - 4 x d y$

Étape 5.2

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $3 x^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = 3 x^{2} \int y^{2} d y + \int - 4 x d y$

Étape 5.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int - 4 x d y$

Étape 5.4

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{1}{3} y^{3} + C) - 4 x y + C$

Étape 5.5

Associez $\frac{1}{3}$ et $y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 x^{2} (\frac{y^{3}}{3} + C) - 4 x y + C$

Étape 5.6

Simplifiez

$f (x, y) = x^{2} y^{3} - 4 x y + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} - 4 x y + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3} - 4 x y + g (x)] = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Étape 8.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y^{3} - 4 x y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y^{3}$ par rapport à $x$ est $y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Étape 8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y^{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Étape 8.3.3

Déplacez $2$ à gauche de $y^{3}$ .

$2 y^{3} x + \frac{d}{d x} [- 4 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Étape 8.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x y]$ .

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Étape 8.4.1

Comme $- 4 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x y$ par rapport à $x$ est $- 4 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 y^{3} x - 4 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Étape 8.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 y^{3} x - 4 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Étape 8.4.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$2 y^{3} x - 4 y + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Étape 8.5

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y^{3} x - 4 y + \frac{d g}{d x} = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Étape 8.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{3} x - 4 y = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Soustrayez $2 y^{3} x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - 4 y = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3 - 2 y^{3} x$

Étape 9.1.2

Ajoutez $4 y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3 - 2 y^{3} x + 4 y$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $2 x y^{3} - 4 y + 4 x - 3 - 2 y^{3} x + 4 y$ .

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Étape 9.1.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 x y^{3}$ et $- 2 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{3} x - 4 y + 4 x - 3 - 2 y^{3} x + 4 y$

Étape 9.1.3.2

Soustrayez $2 y^{3} x$ de $2 y^{3} x$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 y + 4 x - 3 + 0 + 4 y$

Étape 9.1.3.3

Additionnez $- 4 y + 4 x - 3$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - 4 y + 4 x - 3 + 4 y$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $- 4 y$ et $4 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x - 3 + 0$

Étape 9.1.3.5

Additionnez $4 x - 3$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x - 3$

Étape 10

Déterminez la primitive de $4 x - 3$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 4 x - 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 4 x - 3 d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 4 x - 3 d x$

Étape 10.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int 4 x d x + \int - 3 d x$

Étape 10.4

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 4 \int x d x + \int - 3 d x$

Étape 10.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x$

Étape 10.6

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C$

Étape 10.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$g (x) = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C$

Étape 10.8

Simplifiez

$g (x) = 2 x^{2} - 3 x + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = x^{2} y^{3} - 4 x y + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y^{3} - 4 x y + 2 x^{2} - 3 x + C$