Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3) d x - (x^{2} y + 2 x) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{3}] + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.2.2

Comme $2 x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- x y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- x y^{2}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- x y^{2}$ par rapport à $y$ est $- x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - x (2 y) + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Étape 1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.4.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 + \frac{d}{d y} [3]$

Étape 1.5

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 x y - 2 + 0$

Étape 1.6

Associez des termes.

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Étape 1.6.1

Soustrayez $2 x y$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y - 2 + 0$

Étape 1.6.2

Additionnez $- 2 x y - 2$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 x y - 2$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (x^{2} y + 2 x)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x^{2} y + 2 x)]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x^{2} y + 2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{2} y + 2 x]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} y + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.4

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x^{2} y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (y (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.6

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 \cdot y x + \frac{d}{d x} [2 x])$

Étape 2.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2 \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2 \cdot 1)$

Étape 2.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x + 2)$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (2 y x) - 1 \cdot 2$

Étape 2.10.2

Associez des termes.

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Étape 2.10.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (y x) - 1 \cdot 2$

Étape 2.10.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 y x - 2$

Étape 2.10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 x y - 2$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2 x y - 2$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 2 x y - 2$ .

$- 2 x y - 2 = - 2 x y - 2$

Étape 3.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 2 x y - 2 = - 2 x y - 2$ est une identité.

Étape 4

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (x^{2} y + 2 x) d y$

Étape 5

Intégrez $N (x, y) = - (x^{2} y + 2 x)$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int x^{2} y + 2 x d y$

Étape 5.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = - (\int x^{2} y d y + \int 2 x d y)$

Étape 5.3

Comme $x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , placez $x^{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - (x^{2} \int y d y + \int 2 x d y)$

Étape 5.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int 2 x d y)$

Étape 5.5

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + 2 x y + C)$

Étape 5.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) + 2 x y + C)$

Étape 5.7

Simplifiez

$f (x, y) = - (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + C$

Étape 5.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + C$

Étape 6

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)$

Étape 7

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 8.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.2

Différenciez en utilisant la règle de la somme.

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Étape 8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.2.1.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)]$ .

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Étape 8.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y]$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$- (\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} y^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.3.3

Comme $\frac{y^{2}}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2} y^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x y]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.3.5

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x y$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + 2 y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (\frac{y^{2}}{2} (2 x) + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.3.7

Associez $2$ et $\frac{y^{2}}{2}$ .

$- (\frac{2 y^{2}}{2} x + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.3.8

Associez $\frac{2 y^{2}}{2}$ et $x$ .

$- (\frac{2 y^{2} x}{2} + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.3.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.3.9.1

Annulez le facteur commun.

$- (\frac{2 y^{2} x}{2} + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.3.9.2

Divisez $y^{2} x$ par $1$ .

$- (y^{2} x + 2 y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.3.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$- (y^{2} x + 2 y) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- (y^{2} x + 2 y) + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.5

Simplifiez

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Étape 8.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (y^{2} x) - (2 y) + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.5.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- y^{2} x - 2 y + \frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 8.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - y^{2} x - 2 y = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3$

Étape 9

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 9.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1.1

Ajoutez $y^{2} x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} - 2 y = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x$

Étape 9.1.2

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$

Étape 9.1.3

Associez les termes opposés dans $2 x^{3} - x y^{2} - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$ .

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Étape 9.1.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $- x y^{2}$ et $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - y^{2} x - 2 y + 3 + y^{2} x + 2 y$

Étape 9.1.3.2

Additionnez $- y^{2} x$ et $y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - 2 y + 3 + 0 + 2 y$

Étape 9.1.3.3

Additionnez $2 x^{3} - 2 y + 3$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} - 2 y + 3 + 2 y$

Étape 9.1.3.4

Additionnez $- 2 y$ et $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 0 + 3$

Étape 9.1.3.5

Additionnez $2 x^{3}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$

Étape 10

Déterminez la primitive de $2 x^{3} + 3$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 10.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = 2 x^{3} + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Étape 10.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 2 x^{3} + 3 d x$

Étape 10.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int 2 x^{3} d x + \int 3 d x$

Étape 10.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = 2 \int x^{3} d x + \int 3 d x$

Étape 10.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 3 d x$

Étape 10.6

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 3 x + C$

Étape 10.7

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$g (x) = 2 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 3 x + C$

Étape 10.8

Simplifiez

$g (x) = \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$

Étape 10.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$g (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Étape 11

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (\frac{1}{2} x^{2} y^{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Étape 12

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 12.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2}}{2} y^{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Étape 12.1.2

Associez $\frac{x^{2}}{2}$ et $y^{2}$ .

$f (x, y) = - (\frac{x^{2} y^{2}}{2} + 2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Étape 12.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - (2 x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Étape 12.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 (x y) + \frac{1}{2} x^{4} + 3 x + C$

Étape 12.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{4}$ .

$f (x, y) = - \frac{x^{2} y^{2}}{2} - 2 x y + \frac{x^{4}}{2} + 3 x + C$