Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = y e^{- x^{2}}$ , $y (4) = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{- x^{2}})$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y e^{- x^{2}}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (e^{- x^{2}}))$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{- x^{2}})$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{- x^{2}}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = e^{- x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int e^{- x^{2}} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{- x^{2}} d x$

Étape 2.3

$\int e^{- x^{2}} d x$ est un entier spécial. L’intégrale est la fonction d’erreur.

$\ln (| y |) + C_{1} = erf (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = erf (x) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e r f (x) + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = e r f (x) + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{e r f (x) + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{e r f (x) + C}$ .

$| y | = e^{e r f (x) + C}$

Étape 3.3.2

Multipliez $e r f$ par $x$ .

$| y | = e^{e r f x + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{e r f x + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{e r f x + C}$ comme $e^{e r f x} e^{C}$ .

$y = \pm e^{e r f x} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{e r f x}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{e r f x}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{e r f x}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $C$ en remplaçant $x$ par $4$ et $y$ par $1$ dans $y = C e^{e r f x}$ .

$1 = C e^{e r f \cdot 4}$

Étape 6

Résolvez $C$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ .

$C e^{e r f \cdot 4} = 1$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ par $e^{e r f \cdot 4}$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $C e^{e r f \cdot 4} = 1$ par $e^{e r f \cdot 4}$ .

$\frac{C e^{e r f \cdot 4}}{e^{e r f \cdot 4}} = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{e r f \cdot 4}$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{C e^{e r f \cdot 4}}{e^{e r f \cdot 4}} = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $C$ par $1$ .

$C = \frac{1}{e^{e r f \cdot 4}}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $e r f$ .

$C = \frac{1}{e^{4 e r f}}$

Étape 7

Remplacez $C$ par $\frac{1}{e^{4 e r f}}$ dans $y = C e^{e r f x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $C$ par $\frac{1}{e^{4 e r f}}$ .

$y = \frac{1}{e^{4 e r f}} e^{e r f x}$

Étape 7.2

Associez $\frac{1}{e^{4 e r f}}$ et $e^{e r f x}$ .

$y = \frac{e^{e r f x}}{e^{4 e r f}}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun à $e^{e r f x}$ et $e^{4 e r f}$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $e^{4 e r f}$ à partir de $e^{e r f x}$ .

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f}}$

Étape 7.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f} \cdot 1}$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{4 e r f} e^{e r f x - 4 e r f}}{e^{4 e r f} \cdot 1}$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{e^{e r f x - 4 e r f}}{1}$

Étape 7.3.2.4

Divisez $e^{e r f x - 4 e r f}$ par $1$ .

$y = e^{e r f x - 4 e r f}$