Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x - 1) y^{5}}{x^{2} (2 y^{3} - y)}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Étape 1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y^{3} - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y^{3}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2}) - y}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Étape 1.3.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Étape 1.3.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y^{5}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{5}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{2 y^{3} - y})$

Étape 1.3.3

Factorisez $y$ à partir de $2 y^{3} - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y^{3}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2}) - y})$

Étape 1.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1})$

Étape 1.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{y (2 y^{2} - 1)})$

Étape 1.3.4

Annulez le facteur commun à $y^{5}$ et $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{5}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y \cdot y^{4}}{y (2 y^{2} - 1)})$

Étape 1.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y \cdot y^{4}}{y (2 y^{2} - 1)})$

Étape 1.3.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} (\frac{x - 1}{x^{2}} \cdot \frac{y^{4}}{2 y^{2} - 1})$

Étape 1.3.5

Multipliez $\frac{x - 1}{x^{2}}$ par $\frac{y^{4}}{2 y^{2} - 1}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{x^{2} (2 y^{2} - 1)}$

Étape 1.3.6

Annulez le facteur commun de $2 y^{2} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Factorisez $2 y^{2} - 1$ à partir de $x^{2} (2 y^{2} - 1)$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{(2 y^{2} - 1) x^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{(2 y^{2} - 1) x^{2}}$

Étape 1.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{(x - 1) y^{4}}{x^{2}}$

Étape 1.3.7

Annulez le facteur commun de $y^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.1

Factorisez $y^{4}$ à partir de $(x - 1) y^{4}$ .

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{y^{4} (x - 1)}{x^{2}}$

Étape 1.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} \cdot \frac{y^{4} (x - 1)}{x^{2}}$

Étape 1.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} \frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{x^{2}}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} d y = \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2 y^{3} - y}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y^{3} - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y^{3}$ .

$\int \frac{y (2 y^{2}) - y}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.1.1.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$\int \frac{y (2 y^{2}) + y \cdot - 1}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y (2 y^{2}) + y \cdot - 1$ .

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y^{5}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{5}$ .

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{y (2 y^{2} - 1)}{y \cdot y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int \frac{2 y^{2} - 1}{y^{4}} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.1

Retirez $y^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (2 y^{2} - 1) {(y^{4})}^{- 1} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 y^{2} - 1) y^{4 \cdot - 1} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.1.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int (2 y^{2} - 1) y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Multipliez $(2 y^{2} - 1) y^{- 4}$ .

$\int 2 y^{2} y^{- 4} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1

Multipliez $y^{2}$ par $y^{- 4}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.3.1.1

Déplacez $y^{- 4}$ .

$\int 2 (y^{- 4} y^{2}) - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 2 y^{- 4 + 2} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.3.1.3

Additionnez $- 4$ et $2$ .

$\int 2 y^{- 2} - 1 y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez $- 1 y^{- 4}$ comme $- y^{- 4}$ .

$\int 2 y^{- 2} - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 2 y^{- 2} d y + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.5

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int y^{- 2} d y + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) + \int - y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - \int y^{- 4} d y = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 4}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.9.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.9.1.1

Associez $y^{- 3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{y^{- 3}}{3} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.9.1.2

Placez $y^{- 3}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- y^{- 1} + C_{1}) - (- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{2}) = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.9.2

Simplifiez

$2 (- \frac{1}{y}) - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.9.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.9.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 \frac{1}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.9.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{- 2}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.9.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{y} - - \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.9.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{2}{y} + 1 \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.2.9.3.5

Multipliez $\frac{1}{3 y^{3}}$ par $1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int \frac{x - 1}{x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int (x - 1) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.2

Multipliez $(x - 1) x^{- 2}$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{1 - 2} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.1.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} - 1 x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez $- 1 x^{- 2}$ comme $- x^{- 2}$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} - x^{- 2} d x$

Étape 2.3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int - x^{- 2} d x$

Étape 2.3.5

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int - x^{- 2} d x$

Étape 2.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - \int x^{- 2} d x$

Étape 2.3.7

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - (- x^{- 1} + C_{5})$

Étape 2.3.8

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.8.1

Simplifiez

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) - - \frac{1}{x} + C_{6}$

Étape 2.3.8.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.8.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + 1 \frac{1}{x} + C_{6}$

Étape 2.3.8.2.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \ln (| x |) + \frac{1}{x} + C_{6}$

Étape 2.3.9

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} + C_{3} = \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{2}{y} + \frac{1}{3 y^{3}} = \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$