Calcul infinitésimal Exemples

$6 x (y d) x + (4 y + 9 y^{2}) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $6 x y d x$ des deux côtés de l’équation.

$(4 y + 9 y^{2}) d y = - 6 x y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} (4 y + 9 y^{2}) d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Étape 3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $4 y + 9 y^{2}$ .

$\frac{4 y + 9 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Étape 3.2

Factorisez $y$ à partir de $4 y + 9 y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $4 y$ .

$\frac{y \cdot 4 + 9 y^{2}}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Étape 3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $9 y^{2}$ .

$\frac{y \cdot 4 + y (9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Étape 3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 4 + y (9 y)$ .

$\frac{y (4 + 9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (4 + 9 y)}{y} d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Étape 3.3.2

Divisez $4 + 9 y$ par $1$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{1}{y} (- 6 x y) d x$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(4 + 9 y) d y = - 6 \frac{1}{y} (x y) d x$

Étape 3.5

Associez $- 6$ et $\frac{1}{y}$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (x y) d x$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (y x) d x$

Étape 3.6.2

Annulez le facteur commun.

$(4 + 9 y) d y = \frac{- 6}{y} (y x) d x$

Étape 3.6.3

Réécrivez l’expression.

$(4 + 9 y) d y = - 6 x d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 4 + 9 y d y = \int - 6 x d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 4 d y + \int 9 y d y = \int - 6 x d x$

Étape 4.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$4 y + C_{1} + \int 9 y d y = \int - 6 x d x$

Étape 4.2.3

Comme $9$ est constant par rapport à $y$ , placez $9$ en dehors de l’intégrale.

$4 y + C_{1} + 9 \int y d y = \int - 6 x d x$

Étape 4.2.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$4 y + C_{1} + 9 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{2}) = \int - 6 x d x$

Étape 4.2.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.5.1

Simplifiez

$4 y + 9 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{3} = \int - 6 x d x$

Étape 4.2.5.2

Associez $9$ et $\frac{1}{2}$ .

$4 y + \frac{9}{2} y^{2} + C_{3} = \int - 6 x d x$

Étape 4.2.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \int - 6 x d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 6$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 \int x d x$

Étape 4.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Étape 4.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Réécrivez $- 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ comme $- 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 4.3.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.2.1

Associez $- 6$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{- 6}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 4.3.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 4.3.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Étape 4.3.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Étape 4.3.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = \frac{- 3}{1} x^{2} + C_{4}$

Étape 4.3.3.2.2.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y + C_{3} = - 3 x^{2} + C_{4}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{9}{2} y^{2} + 4 y = - 3 x^{2} + K$

Étape 5

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Associez $\frac{9}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y = - 3 x^{2} + K$

Étape 5.2

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Ajoutez $3 x^{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y + 3 x^{2} = K$

Étape 5.2.2

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{9 y^{2}}{2} + 4 y + 3 x^{2} - K = 0$

Étape 5.3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{9 y^{2}}{2}) + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Étape 5.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{9 y^{2}}{2}) + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$9 y^{2} + 2 (4 y) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Étape 5.3.2.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 2 (3 x^{2}) + 2 (- K) = 0$

Étape 5.3.2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 6 x^{2} + 2 (- K) = 0$

Étape 5.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$9 y^{2} + 8 y + 6 x^{2} - 2 K = 0$

Étape 5.3.3

Déplacez $8 y$ .

$9 y^{2} + 6 x^{2} - 2 K + 8 y = 0$

Étape 5.3.4

Remettez dans l’ordre $9 y^{2}$ et $6 x^{2}$ .

$6 x^{2} + 9 y^{2} - 2 K + 8 y = 0$

Étape 5.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs $a = 9$ , $b = 8$ et $c = 6 x^{2} - 2 K$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (9 \cdot (6 x^{2} - 2 K))}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 9 \cdot (6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $9$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 36 \cdot (6 x^{2} - 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 36 (6 x^{2}) - 36 (- 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.1.4

Multipliez $6$ par $- 36$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 216 x^{2} - 36 (- 2 K)}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 36$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 216 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.1.6

Factorisez $8$ à partir de $64 - 216 x^{2} + 72 K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1.6.1

Factorisez $8$ à partir de $64$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) - 216 x^{2} + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.1.6.2

Factorisez $8$ à partir de $- 216 x^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) + 8 (- 27 x^{2}) + 72 K}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.1.6.3

Factorisez $8$ à partir de $72 K$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8) + 8 (- 27 x^{2}) + 8 (9 K)}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.1.6.4

Factorisez $8$ à partir de $8 (8) + 8 (- 27 x^{2})$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8 - 27 x^{2}) + 8 (9 K)}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.1.6.5

Factorisez $8$ à partir de $8 (8 - 27 x^{2}) + 8 (9 K)$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{8 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.1.7

Réécrivez $8 (8 - 27 x^{2} + 9 K)$ comme $2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.6.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{4 (2) (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 9 K))}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.1.7.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.1.7.4

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K))}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 3^{2} K)}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.1.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{2 \cdot 9}$

Étape 5.6.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$y = \frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{18}$

Étape 5.6.3

Simplifiez $\frac{- 8 \pm 2 \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{18}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

Étape 5.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + 9 K + 8)} + 4}{9}$

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + 9 K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + 9 K + 8)} + 4}{9}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{4 - \sqrt{2 (8 - 27 x^{2} + K)}}{9}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- 27 x^{2} + K)} + 4}{9}$