Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} + \csc (y) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Soustrayez $\csc (y)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d t} = - \csc (y)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\csc (y)}$ .

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{\csc (y)} (- \csc (y))$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = - \frac{1}{\csc (y)} \csc (y)$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $\csc (y)$ .

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Étape 1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{\csc (y)}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{\csc (y)} \csc (y)$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = \frac{- 1}{\csc (y)} \csc (y)$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\csc (y)} \frac{d y}{d t} = - 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\csc (y)} d y = - d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\csc (y)} d y = \int - 1 d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez $\csc (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\sin (y)}} d y = \int - 1 d t$

Étape 2.2.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\int 1 \sin (y) d y = \int - 1 d t$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $\sin (y)$ par $1$ .

$\int \sin (y) d y = \int - 1 d t$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\sin (y)$ par rapport à $y$ est $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} = \int - 1 d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \cos (y) + C_{1} = - t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \cos (y) = - t + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (y) = - t + K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- \cos (y) = - t + K$ par $- 1$ .

$\frac{- \cos (y)}{- 1} = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\cos (y)}{1} = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $\cos (y)$ par $1$ .

$\cos (y) = \frac{- t}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\cos (y) = \frac{t}{1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.2

Divisez $t$ par $1$ .

$\cos (y) = t + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{K}{- 1}$ .

$\cos (y) = t - 1 \cdot K$

Étape 3.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 \cdot K$ comme $- K$ .

$\cos (y) = t - K$

Étape 3.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du cosinus.

$y = \arccos (t - K)$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \arccos (t + K)$