Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = x \sqrt{1 - y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (x \sqrt{1 - y^{2}})$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{1 - y^{2}}$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $\sqrt{1 - y^{2}}$ à partir de $x \sqrt{1 - y^{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (\sqrt{1 - y^{2}} x)$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} (\sqrt{1 - y^{2}} x)$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} \frac{d y}{d x} = x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}} d y = \int x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}} d y = \int x d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - y^{2}}}$ par rapport à $y$ est $\arcsin (y)$

$\arcsin (y) + C_{1} = \int x d x$

Étape 2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\arcsin (y) + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\arcsin (y) = \frac{1}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez l’arc sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc sinus.

$y = \sin (\frac{1}{2} x^{2} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$y = \sin (\frac{x^{2}}{2} + K)$