Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x^{2} y + 2 x) \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 x y^{2} + 2 y = 0$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 1.1.2.1

Soustrayez $2 x y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} + 2 y = - 2 x y^{2}$

Étape 1.1.2.2

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

Étape 1.1.3

Factorisez $2 x \frac{d y}{d x}$ à partir de $2 x^{2} y \frac{d y}{d x} + 2 x \frac{d y}{d x}$ .

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Étape 1.1.3.1

Factorisez $2 x \frac{d y}{d x}$ à partir de $2 x^{2} y \frac{d y}{d x}$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} = - 2 x y^{2} - 2 y$

Étape 1.1.3.2

Factorisez $2 x \frac{d y}{d x}$ à partir de $2 x \frac{d y}{d x}$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1 = - 2 x y^{2} - 2 y$

Étape 1.1.3.3

Factorisez $2 x \frac{d y}{d x}$ à partir de $2 x \frac{d y}{d x} (x y) + 2 x \frac{d y}{d x} \cdot 1$ .

$2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$

Étape 1.1.4

Divisez chaque terme dans $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ par $2 x (x y + 1)$ et simplifiez.

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Étape 1.1.4.1

Divisez chaque terme dans $2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1) = - 2 x y^{2} - 2 y$ par $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{2 x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x (x y + 1)} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.2.3

Annulez le facteur commun de $x y + 1$ .

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Étape 1.1.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x} (x y + 1)}{x y + 1} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.2.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 x y^{2}}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.1.4.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.4.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 (- x y^{2})}{2 (x (x y + 1))} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.4.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x y^{2}}{x (x y + 1)} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- 2 y}{2 x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.1.4

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 1.1.4.3.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.4.3.1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x (x y + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

Étape 1.1.4.3.1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{2 (- y)}{2 (x (x y + 1))}$

Étape 1.1.4.3.1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} + \frac{- y}{x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.2

Pour écrire $- \frac{y^{2}}{x y + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2}}{x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x y + 1) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.1.4.3.3.1

Multipliez $\frac{y^{2}}{x y + 1}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{(x y + 1) x} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(x y + 1) x$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x}{x (x y + 1)} - \frac{y}{x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y^{2} x - y}{x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.5

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} x - y$ .

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Étape 1.1.4.3.5.1

Factorisez $y$ à partir de $- y^{2} x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) - y}{x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.5.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x) + y \cdot - 1}{x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.5.3

Factorisez $y$ à partir de $y (- y x) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- y x - 1)}{x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.6

Annulez le facteur commun à $- y x - 1$ et $x y + 1$ .

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Étape 1.1.4.3.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1)}{x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.6.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x) - 1 (1))}{x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.6.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (y x) - 1 (1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.6.4

Réécrivez $- (y x + 1)$ comme $- 1 (y x + 1)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (y x + 1))}{x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.6.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (x y + 1))}{x (x y + 1)}$

Étape 1.1.4.3.6.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (- 1)}{x}$

Étape 1.1.4.3.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.4.3.7.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 1 \cdot y}{x}$

Étape 1.1.4.3.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (- \frac{y}{x})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = C$

Étape 3.3

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| y x |) = C$

Étape 3.4

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{C}$

Étape 3.5

Réécrivez $\ln (| y x |) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y x |$

Étape 3.6

Résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’équation comme $| y x | = e^{C}$ .

$| y x | = e^{C}$

Étape 3.6.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{C}$

Étape 3.6.3

Divisez chaque terme dans $y x = \pm e^{C}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 3.6.3.1

Divisez chaque terme dans $y x = \pm e^{C}$ par $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Étape 3.6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Étape 3.6.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{x}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{C}{x}$