Calcul infinitésimal Exemples

$(x - y^{3} + y^{2} \sin (x)) d x = (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle pour respecter la technique de l’équation différentielle exacte.

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Étape 1.1

Soustrayez $(3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$ des deux côtés de l’équation.

$(x - y^{3} + y^{2} \sin (x)) d x - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y = 0$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - y^{3} + y^{2} \sin (x)]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Étape 2.2.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y^{3}$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d y} [y^{2} \sin (x)]$ .

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Étape 2.4.1

Comme $\sin (x)$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $y^{2} \sin (x)$ par rapport à $y$ est $\sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + \sin (x) (2 y)$

Étape 2.4.3

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (x)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Soustrayez $3 y^{2}$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 \sin (x) y$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Étape 3

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ .

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Étape 3.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x y^{2} + 2 y \cos (x)]$

Étape 3.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x y^{2} + 2 y \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Étape 3.2.3

Comme $3 y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x y^{2}$ par rapport à $x$ est $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Étape 3.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Étape 3.2.5

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + \frac{d}{d x} [2 y \cos (x)])$

Étape 3.2.6

Comme $2 y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y \cos (x)$ par rapport à $x$ est $2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} + 2 y (- \sin (x)))$

Étape 3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2} - 2 y \sin (x))$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 y^{2}) - (- 2 y \sin (x))$

Étape 3.5.2

Associez des termes.

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Étape 3.5.2.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} - (- 2 y \sin (x))$

Étape 3.5.2.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Étape 4

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ .

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$

Étape 4.2

Comme il a été démontré que les deux côtés étaient équivalents, l’équation est une identité.

$- 3 y^{2} + 2 y \sin (x) = - 3 y^{2} + 2 y \sin (x)$ est une identité.

Étape 5

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x)) d y$

Étape 6

Intégrez $N (x, y) = - (3 x y^{2} + 2 y \cos (x))$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - \int 3 x y^{2} + 2 y \cos (x) d y$

Étape 6.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f (x, y) = - (\int 3 x y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

Étape 6.3

Comme $3 x$ est constant par rapport à $y$ , placez $3 x$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - (3 x \int y^{2} d y + \int 2 y \cos (x) d y)$

Étape 6.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y \cos (x) d y)$

Étape 6.5

Comme $2 \cos (x)$ est constant par rapport à $y$ , placez $2 \cos (x)$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) \int y d y)$

Étape 6.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = - (3 x (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \cos (x) (\frac{1}{2} y^{2} + C))$

Étape 6.7

Simplifiez

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + C$

Étape 7

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$

Étape 8

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Étape 9

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 9.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Étape 9.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Étape 9.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})]$ .

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Étape 9.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x y^{3} + \cos (x) y^{2})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3} + \cos (x) y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Étape 9.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y^{3} + \cos (x) y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]$ .

$- (\frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Étape 9.3.3

Comme $y^{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $x y^{3}$ par rapport à $x$ est $y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (y^{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Étape 9.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x) y^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Étape 9.3.5

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\cos (x) y^{2}$ par rapport à $x$ est $y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Étape 9.3.6

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- (y^{3} \cdot 1 + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Étape 9.3.7

Multipliez $y^{3}$ par $1$ .

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Étape 9.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$- (y^{3} + y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Étape 9.5

Simplifiez

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Étape 9.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$- y^{3} - (y^{2} (- \sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Étape 9.5.2

Associez des termes.

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Étape 9.5.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- y^{3} + 1 (y^{2} (\sin (x))) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Étape 9.5.2.2

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$- y^{3} + y^{2} \sin (x) + \frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Étape 9.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - y^{3} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x)$

Étape 10

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 10.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 10.1.1

Ajoutez $y^{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} \sin (x) = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3}$

Étape 10.1.2

Soustrayez $y^{2} \sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$

Étape 10.1.3

Associez les termes opposés dans $x - y^{3} + y^{2} \sin (x) + y^{3} - y^{2} \sin (x)$ .

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Étape 10.1.3.1

Additionnez $- y^{3}$ et $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) + 0 - y^{2} \sin (x)$

Étape 10.1.3.2

Additionnez $x + y^{2} \sin (x)$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x + y^{2} \sin (x) - y^{2} \sin (x)$

Étape 10.1.3.3

Soustrayez $y^{2} \sin (x)$ de $y^{2} \sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = x + 0$

Étape 10.1.3.4

Additionnez $x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x$

Étape 11

Déterminez la primitive de $x$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 11.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x d x$

Étape 11.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x d x$

Étape 11.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 12

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + g (x)$ .

$f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 13

Simplifiez $f (x, y) = - (x y^{3} + \cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = - (x y^{3}) - (\cos (x) y^{2}) + \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 13.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$

Étape 13.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $f (x, y) = - x y^{3} - \cos (x) y^{2} + \frac{x^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = - x y^{3} - y^{2} \cos (x) + \frac{x^{2}}{2} + C$