Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10}$

Étape 1

intégrez les deux côtés par rapport à $x$ .

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Étape 1.1

La dérivée première est égale à l’intégrale de la dérivée seconde par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{21 \sec^{2} (x) \tan (x)}{10} d x$

Étape 1.2

Comme $\frac{21}{10}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{21}{10}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int \sec^{2} (x) \tan (x) d x$

Étape 1.3

Laissez $u = \sec (x)$ . Alors $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , donc $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 1.3.1

Laissez $u = \sec (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 1.3.1.1

Différenciez $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Étape 1.3.1.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Étape 1.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \int u d u$

Étape 1.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Réécrivez $\frac{21}{10} (\frac{1}{2} u^{2} + C_{1})$ comme $\frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10} \cdot \frac{1}{2} u^{2} + C_{1}$

Étape 1.5.2

Simplifiez

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Étape 1.5.2.1

Multipliez $\frac{21}{10}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{10 \cdot 2} u^{2} + C_{1}$

Étape 1.5.2.2

Multipliez $10$ par $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} u^{2} + C_{1}$

Étape 1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}$

Étape 2

Réécrivez l’équation.

$d y = (\frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1}) d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

Étape 3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) + C_{1} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{2} = \int \frac{21}{20} \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.2

Comme $\frac{21}{20}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{21}{20}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \int \sec^{2} (x) d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.3

Comme la dérivée de $\tan (x)$ est $\sec^{2} (x)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (x)$ est $\tan (x)$ .

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = \frac{21}{20} (\tan (x) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Étape 3.3.5

Simplifiez

$y + C_{2} = \frac{21}{20} \tan (x) + C_{1} x + C_{5}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = \frac{21}{20} \tan (x) + C x + D$