Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y (e^{x} + 4)$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Résolvez $\frac{d y}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Simplifiez $y (e^{x} + 4)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = 0 + 0 + y (e^{x} + 4)$

Étape 1.1.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y (e^{x} + 4)$

Étape 1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y e^{x} + y \cdot 4$

Étape 1.1.1.4

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$\frac{d y}{d x} + 4 y = y e^{x} + 4 y$

Étape 1.1.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d y}{d x}$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = y e^{x} + 4 y - 4 y$

Étape 1.1.2.2

Associez les termes opposés dans $y e^{x} + 4 y - 4 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.2.1

Soustrayez $4 y$ de $4 y$ .

$\frac{d y}{d x} = y e^{x} + 0$

Étape 1.1.2.2.2

Additionnez $y e^{x}$ et $0$ .

$\frac{d y}{d x} = y e^{x}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{x})$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y e^{x}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (e^{x}))$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y e^{x})$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = e^{x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = e^{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int e^{x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int e^{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = e^{x} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e^{x} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = e^{x} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{e^{x} + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{e^{x} + C}$ .

$| y | = e^{e^{x} + C}$

Étape 3.3.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{e^{x} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez $e^{e^{x} + C}$ comme $e^{e^{x}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{e^{x}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{e^{x}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{e^{x}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{e^{x}}$