Calcul infinitésimal Exemples

$e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$ par $e^{x}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $e^{x} \frac{d y}{d x} = 2 x$ par $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} \frac{d y}{d x}}{e^{x}} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{e^{x}}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{2 x}{e^{x}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{x}{e^{x}} d x$

Étape 2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.1

Inversez l’exposant de $e^{x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$y + C_{1} = 2 \int x {(e^{x})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = 2 \int x e^{x \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$y + C_{1} = 2 \int x e^{- 1 \cdot x} d x$

Étape 2.3.2.2.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y + C_{1} = 2 \int x e^{- x} d x$

Étape 2.3.3

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Étape 2.3.5.2

Multipliez $\int e^{- x} d x$ par $1$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Étape 2.3.6

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.6.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.6.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.6.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.6.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.3.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.6.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Étape 2.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Étape 2.3.8

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$y + C_{1} = 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Étape 2.3.9

Réécrivez $2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ comme $2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Étape 2.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$y + C_{1} = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$