Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1

intégrez les deux côtés par rapport à $x$ .

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Étape 1.1

La dérivée première est égale à l’intégrale de la dérivée seconde par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 1.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 1.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 1.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 1.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 1.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \int x^{- 2} d x$

Étape 1.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x^{- 1} + C_{1}$

Étape 1.4

Réécrivez $- x^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{x} + C_{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x} + C_{1}$

Étape 2

Réécrivez l’équation.

$d y = (- \frac{1}{x} + C_{1}) d x$

Étape 3

Intégrez les deux côtés.

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Étape 3.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

Étape 3.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} + C_{1} d x$

Étape 3.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{2} = - \int \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Étape 3.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{2} = - (\ln (| x |) + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Étape 3.3.5

Simplifiez

$y + C_{2} = - \ln (| x |) + C_{1} x + C_{5}$

Étape 3.3.6

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{2} = C_{1} x - \ln (| x |) + C_{5}$

Étape 3.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $D$ .

$y = C x - \ln (| x |) + D$