Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} = \sec (y)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = \sec (y)$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = \sec (y)$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sec (y)}{x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\sec (y)}{x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (y)}{x}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sec (y)}$ .

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} \cdot \frac{\sec (y)}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $\sec (y)$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sec (y)} \cdot \frac{\sec (y)}{x}$

Étape 1.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sec (y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sec (y)} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sec (y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Réécrivez $\sec (y)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\int \frac{1}{\frac{1}{\cos (y)}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (y)}$ .

$\int 1 \cos (y) d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $\cos (y)$ par $1$ .

$\int \cos (y) d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\cos (y)$ par rapport à $y$ est $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\sin (y) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\sin (y) = \ln (| x |) + C$

Étape 3

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur du sinus.

$y = \arcsin (\ln (| x |) + C)$