Calcul infinitésimal Exemples

$3 x \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $3 x \frac{d y}{d x} = x^{2}$ par $3 x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $3 x \frac{d y}{d x} = x^{2}$ par $3 x$ .

$\frac{3 x \frac{d y}{d x}}{3 x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x \frac{d y}{d x}}{3 x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

Étape 1.1.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

Étape 1.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

Étape 1.1.2.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{3 x}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.1.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{3 x}$

Étape 1.1.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 3}$

Étape 1.1.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 3}$

Étape 1.1.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{3}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{x}{3} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{x}{3} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{x}{3} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $\frac{1}{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{6} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \frac{1}{6} x^{2} + K$