Calcul infinitésimal Exemples

solve the differential equation of $\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2} + 4}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{x^{2} + 4} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Étape 2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $x^{2}$ et $4$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$

Étape 2.3.4.2

Réécrivez $2 (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C_{2})$ comme $2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 2.3.4.3

Simplifiez

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Étape 2.3.4.3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 2.3.4.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 2.3.4.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = 1 \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 2.3.4.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$y + C_{1} = 1 \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Étape 2.3.4.3.4

Multipliez $\arctan (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$y + C_{1} = \arctan (\frac{x}{2}) + C_{2}$

Étape 2.3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = \arctan (\frac{1}{2} x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = \arctan (\frac{1}{2} x) + K$