Calcul infinitésimal Exemples

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$e^{y} d y = \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int e^{y} d y = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $e^{y}$ par rapport à $y$ est $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{y} + C_{1} = 2 \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = \ln (x)$ . Alors $d u = \frac{1}{x} d x$ , donc $x d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Laissez $u = \ln (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 2.3.2.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 \int u d u$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ comme $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2} u^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{y} + C_{1} = 1 u^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2.3

Multipliez $u^{2}$ par $1$ .

$e^{y} + C_{1} = u^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\ln (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = \ln^{2} (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$e^{y} = \ln^{2} (x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y}) = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

Étape 3.2

Développez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Développez $\ln (e^{y})$ en déplaçant $y$ hors du logarithme.

$y \ln (e) = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

Étape 3.2.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (\ln^{2} (x) + K)$

Étape 3.2.3

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = \ln (\ln^{2} (x) + K)$