Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} d x + y (x - 1) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x^{2} d x$ des deux côtés de l’équation.

$y (x - 1) d y = - x^{2} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{1}{x - 1} (y (x - 1)) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $y (x - 1)$ .

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x - 1} ((x - 1) y) d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$y d y = \frac{1}{x - 1} (- x^{2}) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y d y = - \frac{1}{x - 1} x^{2} d x$

Étape 3.3

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x - 1}$ .

$y d y = - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Étape 4.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{2}}{x - 1} d x$

Étape 4.3.2

Divisez $x^{2}$ par $x - 1$ .

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Étape 4.3.2.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 4.3.2.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x$
	$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$

Étape 4.3.2.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			+	$x^{2}$	-	$x$

Étape 4.3.2.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} - x$

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 4.3.2.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

Étape 4.3.2.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Étape 4.3.2.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$

Étape 4.3.2.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					+	$x$	-	$1$

Étape 4.3.2.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 1$

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$

Étape 4.3.2.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x$	+	$1$
$x$	-	$1$		$x^{2}$	+	$0 x$	+	$0$
			-	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	+	$0$
					-	$x$	+	$1$
							+	$1$

Étape 4.3.2.11

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int x + 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

Étape 4.3.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\int x d x + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Étape 4.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Étape 4.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Étape 4.3.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{x - 1} d x)$

Étape 4.3.7

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.7.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.7.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 4.3.7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.3.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 4.3.7.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.3.7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.3.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 4.3.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + C_{2} + x + C_{3} + \ln (| u |) + C_{4})$

Étape 4.3.9

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| u |)) + C_{5}$

Étape 4.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} x^{2} + x + \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

Étape 4.3.11

Simplifiez

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Étape 4.3.11.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{x^{2}}{2} + x + \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

Étape 4.3.11.2

Pour écrire $\ln (| x - 1 |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2}}{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2}) + C_{5}$

Étape 4.3.11.3

Associez $\ln (| x - 1 |)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{\ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2}) + C_{5}$

Étape 4.3.11.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2} + \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2}) + C_{5}$

Étape 4.3.11.5

Déplacez $2$ à gauche de $\ln (| x - 1 |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (x + \frac{x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)}{2}) + C_{5}$

Étape 4.3.11.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x - \frac{x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + C_{5}$

Étape 4.3.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) + C_{5}$

Étape 4.3.13

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C_{5}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Étape 5.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Étape 5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Étape 5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{1}{2} (x^{2} + 2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Étape 5.2.2.1.1.2

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Étape 5.2.2.1.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Étape 5.2.2.1.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \ln (| x - 1 |)$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 (\ln (| x - 1 |))) - x + C)$

Étape 5.2.2.1.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- 1}{2} (2 \ln (| x - 1 |)) - x + C)$

Étape 5.2.2.1.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - 1 \ln (| x - 1 |) - x + C)$

Étape 5.2.2.1.1.4

Réécrivez $- 1 \ln (| x - 1 |)$ comme $- \ln (| x - 1 |)$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x - 1 |) - x + C)$

Étape 5.2.2.1.1.5

Pour écrire $- \ln (| x - 1 |)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} - \ln (| x - 1 |) \cdot \frac{2}{2} - x + C)$

Étape 5.2.2.1.1.6

Associez $- \ln (| x - 1 |)$ et $\frac{2}{2}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{2}}{2} + \frac{- \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} - x + C)$

Étape 5.2.2.1.1.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{2} = 2 (\frac{- x^{2} - \ln (| x - 1 |) \cdot 2}{2} - x + C)$

Étape 5.2.2.1.1.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y^{2} = 2 (\frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} - x + C)$

Étape 5.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + 2 (- x) + 2 C$

Étape 5.2.2.1.3

Simplifiez

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Étape 5.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |)}{2} + 2 (- x) + 2 C$

Étape 5.2.2.1.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = - x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |) + 2 (- x) + 2 C$

Étape 5.2.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} = - x^{2} - 2 \ln (| x - 1 |) - 2 x + 2 C$

Étape 5.3

Simplifiez $- 2 \ln (| x - 1 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$y^{2} = - x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C$

Étape 5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C}$

Étape 5.5

Simplifiez $\pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({| x - 1 |}^{2}) - 2 x + 2 C}$ .

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Étape 5.5.1

Retirez la valeur absolue dans ${| x - 1 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$y = \pm \sqrt{- x^{2} - \ln ({(x - 1)}^{2}) - 2 x + 2 C}$

Étape 5.5.2

Réécrivez $- x^{2} - \ln ({(x - 1)}^{2}) - 2 x + 2 C$ en forme factorisée.

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Étape 5.5.2.1

Regroupez les termes.

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - x^{2} - 2 x + 2 C}$

Étape 5.5.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} - 2 x + 2 C$ .

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Étape 5.5.2.2.1

Déplacez $- 2 x$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - x^{2} + 2 C - 2 x}$

Étape 5.5.2.2.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) + 2 C - 2 x}$

Étape 5.5.2.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $2 C$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) - (- 2 C) - 2 x}$

Étape 5.5.2.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2}) - (- 2 C) - (2 x)}$

Étape 5.5.2.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 2 C)$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C) - (2 x)}$

Étape 5.5.2.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 2 C) - (2 x)$ .

$y = \pm \sqrt{- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C + 2 x)}$

Étape 5.5.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln ({(x - 1)}^{2}) - (x^{2} - 2 C + 2 x)$ .

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Étape 5.5.2.3.1

Remettez dans l’ordre $- \ln ({(x - 1)}^{2})$ et $- (x^{2} - 2 C + 2 x)$ .

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x) - \ln ({(x - 1)}^{2})}$

Étape 5.5.2.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \ln ({(x - 1)}^{2})$ .

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x) - (\ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Étape 5.5.2.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 2 C + 2 x) - (\ln ({(x - 1)}^{2}))$ .

$y = \pm \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Étape 5.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Étape 5.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Étape 5.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} - 2 C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{- (x^{2} + C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$

$y = - \sqrt{- (x^{2} + C + 2 x + \ln ({(x - 1)}^{2}))}$