Calcul infinitésimal Exemples

$2 y \frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$2 y d y = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 2 y d y = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int y d y = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $2 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1})$ comme $2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1}$ .

$2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Étape 2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Étape 2.2.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Étape 2.2.3.2.3

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u = 1 + \sin (x)$ . Alors $d u = \cos (x) d x$ , donc $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u = 1 + \sin (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Étape 2.3.1.1.2

Différenciez.

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Étape 2.3.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.3.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Étape 2.3.1.1.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Étape 2.3.1.1.4

Additionnez $0$ et $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \sin (x)$ .

$y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + \sin (x) |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y^{2} = \ln (| 1 + \sin (x) |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

Étape 3.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

Étape 3.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

Étape 3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$

$y = - \sqrt{\ln (| 1 + \sin (x) |) + C}$