Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x - 1}{3 y + 2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $3 y + 2$ .

$(3 y + 2) \frac{d y}{d x} = (3 y + 2) \frac{4 x - 1}{3 y + 2}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $3 y + 2$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$(3 y + 2) \frac{d y}{d x} = (3 y + 2) \frac{4 x - 1}{3 y + 2}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(3 y + 2) \frac{d y}{d x} = 4 x - 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(3 y + 2) d y = (4 x - 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 3 y + 2 d y = \int 4 x - 1 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int 3 y d y + \int 2 d y = \int 4 x - 1 d x$

Étape 2.2.2

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int y d y + \int 2 d y = \int 4 x - 1 d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + \int 2 d y = \int 4 x - 1 d x$

Étape 2.2.4

Appliquez la règle de la constante.

$3 (\frac{1}{2} y^{2} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int 4 x - 1 d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

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Étape 2.2.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$3 (\frac{y^{2}}{2} + C_{1}) + 2 y + C_{2} = \int 4 x - 1 d x$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez

$\frac{3 y^{2}}{2} + 2 y + C_{3} = \int 4 x - 1 d x$

Étape 2.2.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{3}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int 4 x - 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{3}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int 4 x d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = 4 \int x d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{3}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$\frac{3}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = 2 x^{2} - x + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{3}{2} y^{2} + 2 y = 2 x^{2} - x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Associez $\frac{3}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{3 y^{2}}{2} + 2 y = 2 x^{2} - x + K$

Étape 3.2

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $2 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3 y^{2}}{2} + 2 y - 2 x^{2} = - x + K$

Étape 3.2.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{3 y^{2}}{2} + 2 y - 2 x^{2} + x = K$

Étape 3.2.3

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{3 y^{2}}{2} + 2 y - 2 x^{2} + x - K = 0$

Étape 3.3

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{3 y^{2}}{2}) + 2 (2 y) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{3 y^{2}}{2}) + 2 (2 y) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 y^{2} + 2 (2 y) + 2 (- 2 x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$3 y^{2} + 4 y + 2 (- 2 x^{2}) + 2 x + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$3 y^{2} + 4 y - 4 x^{2} + 2 x + 2 (- K) = 0$

Étape 3.3.2.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 y^{2} + 4 y - 4 x^{2} + 2 x - 2 K = 0$

Étape 3.3.3

Déplacez $4 y$ .

$3 y^{2} - 4 x^{2} + 2 x - 2 K + 4 y = 0$

Étape 3.3.4

Déplacez $2 x$ .

$3 y^{2} - 4 x^{2} - 2 K + 2 x + 4 y = 0$

Étape 3.3.5

Remettez dans l’ordre $3 y^{2}$ et $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 K + 2 x + 4 y = 0$

Étape 3.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.5

Remplacez les valeurs $a = 3$ , $b = 4$ et $c = - 4 x^{2} - 2 K + 2 x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K + 2 x))}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6

Simplifiez

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Étape 3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.2

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot (- 4 x^{2} - 2 K + 2 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 (- 4 x^{2}) - 12 (- 2 K) - 12 (2 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.4

Simplifiez

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Étape 3.6.1.4.1

Multipliez $- 4$ par $- 12$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48 x^{2} - 12 (- 2 K) - 12 (2 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 12$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48 x^{2} + 24 K - 12 (2 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 12$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 48 x^{2} + 24 K - 24 x}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.5

Factorisez $8$ à partir de $16 + 48 x^{2} + 24 K - 24 x$ .

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Étape 3.6.1.5.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (2) + 48 x^{2} + 24 K - 24 x}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.5.2

Factorisez $8$ à partir de $48 x^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (2) + 8 (6 x^{2}) + 24 K - 24 x}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.5.3

Factorisez $8$ à partir de $24 K$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (2) + 8 (6 x^{2}) + 8 (3 K) - 24 x}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.5.4

Factorisez $8$ à partir de $- 24 x$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (2) + 8 (6 x^{2}) + 8 (3 K) + 8 (- 3 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.5.5

Factorisez $8$ à partir de $8 (2) + 8 (6 x^{2})$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (2 + 6 x^{2}) + 8 (3 K) + 8 (- 3 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.5.6

Factorisez $8$ à partir de $8 (2 + 6 x^{2}) + 8 (3 K)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (2 + 6 x^{2} + 3 K) + 8 (- 3 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.5.7

Factorisez $8$ à partir de $8 (2 + 6 x^{2} + 3 K) + 8 (- 3 x)$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{8 (2 + 6 x^{2} + 3 K - 3 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.6

Réécrivez $8 (2 + 6 x^{2} + 3 K - 3 x)$ comme $2^{2} \cdot (2 (2 + 6 x^{2} + 3 K - 3 x))$ .

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Étape 3.6.1.6.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (2) (2 + 6 x^{2} + 3 K - 3 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.6.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (2 + 6 x^{2} + 3 K - 3 x))}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.6.3

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot (2 (2 + 6 x^{2} + 3 K - 3 x))}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (2 + 6 x^{2} + 3 K - 3 x)}}{2 \cdot 3}$

Étape 3.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (2 + 6 x^{2} + 3 K - 3 x)}}{6}$

Étape 3.6.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{2 (2 + 6 x^{2} + 3 K - 3 x)}}{6}$ .

$y = \frac{- 2 \pm \sqrt{2 (2 + 6 x^{2} + 3 K - 3 x)}}{3}$

Étape 3.7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (2 + 6 x^{2} + 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (6 x^{2} + 3 K - 3 x + 2)} + 2}{3}$

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (2 + 6 x^{2} + 3 K - 3 x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (6 x^{2} + 3 K - 3 x + 2)} + 2}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{2 - \sqrt{2 (2 + 6 x^{2} + K - 3 x)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (6 x^{2} + K - 3 x + 2)} + 2}{3}$