Calcul infinitésimal Exemples

$y \frac{d y}{d x} = \frac{2}{3 x^{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{2}{3 x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{2}{3 x^{2}} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2}{3 x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{2}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.2.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.2.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} \int x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $\frac{2}{3} (- x^{- 1} + C_{2})$ comme $\frac{2}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{3} (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{2}{3 x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{2}{3 x} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{2}{3 x} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{3 x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{2}{3 x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- \frac{2}{3 x} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{2}{3 x} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 (- \frac{2}{3 x}) + 2 K$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $2 (- \frac{2}{3 x})$ .

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Étape 3.2.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} = - 2 \frac{2}{3 x} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.2.2

Associez $- 2$ et $\frac{2}{3 x}$ .

$y^{2} = \frac{- 2 \cdot 2}{3 x} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.2.3

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y^{2} = \frac{- 4}{3 x} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{4}{3 x} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4}{3 x} + 2 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{4}{3 x} + 2 K}$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- \frac{4}{3 x} + 2 K$ .

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Étape 3.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- \frac{4}{3 x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x}) + 2 K}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x}) + 2 K}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- \frac{2}{3 x}) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x} + K)}$

Étape 3.4.2

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x}{3 x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x} + K \cdot \frac{3 x}{3 x})}$

Étape 3.4.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.4.3.1

Associez $K$ et $\frac{3 x}{3 x}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- \frac{2}{3 x} + \frac{K (3 x)}{3 x})}$

Étape 3.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 + K (3 x)}{3 x}}$

Étape 3.4.4

Déplacez $3$ à gauche de $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 2 + 3 K x}{3 x}}$

Étape 3.4.5

Associez $2$ et $\frac{- 2 + 3 K x}{3 x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 2 + 3 K x)}{3 x}}$

Étape 3.4.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 (- 2 + 3 K x)}{3 x}}$ comme $\frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}}$

Étape 3.4.7

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}}$ par $\frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}} \cdot \frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 x}}$

Étape 3.4.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)}}{\sqrt{3 x}}$ par $\frac{\sqrt{3 x}}{\sqrt{3 x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{\sqrt{3 x} \sqrt{3 x}}$

Étape 3.4.8.2

Élevez $\sqrt{3 x}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{\sqrt{3 x}}^{1} \sqrt{3 x}}$

Étape 3.4.8.3

Élevez $\sqrt{3 x}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{\sqrt{3 x}}^{1} {\sqrt{3 x}}^{1}}$

Étape 3.4.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{\sqrt{3 x}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{\sqrt{3 x}}^{2}}$

Étape 3.4.8.6

Réécrivez ${\sqrt{3 x}}^{2}$ comme $3 x$ .

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Étape 3.4.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x}$ comme ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{(3 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{(3 x)}^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{{(3 x)}^{1}}$

Étape 3.4.8.6.5

Simplifiez

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x)} \sqrt{3 x}}{3 x}$

Étape 3.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 2 + 3 K x) (3 x)}}{3 x}$

Étape 3.4.9.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- 2 + 3 K x) x}}{3 x}$

Étape 3.4.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{6 (- 2 + 3 K x) x}}{3 x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + 3 K x)}}{3 x}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{6 x (- 2 + K x)}}{3 x}$

$y = - \frac{\sqrt{6 x (- 2 + K x)}}{3 x}$