Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + y = \sin (x)$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 1$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$

Étape 2.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = e^{x} \sin (x)$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = e^{x} \sin (x)$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int e^{x} \sin (x) d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{x} y = \int e^{x} \sin (x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $\sin (x)$ .

$e^{x} y = \int \sin (x) e^{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \sin (x)$ et $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int e^{x} \cos (x) d x$

Étape 6.3

Remettez dans l’ordre $e^{x}$ et $\cos (x)$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - \int \cos (x) e^{x} d x$

Étape 6.4

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = \cos (x)$ et $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - \int e^{x} (- \sin (x)) d x)$

Étape 6.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} - - \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Étape 6.6

Simplifiez en multipliant.

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Étape 6.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + 1 \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Étape 6.6.2

Multipliez $\int e^{x} (\sin (x)) d x$ par $1$ .

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x} + \int e^{x} (\sin (x)) d x)$

Étape 6.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} y = \sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x}) - \int e^{x} (\sin (x)) d x$

Étape 6.7

En résolvant $\int e^{x} \sin (x) d x$ , nous trouvons que $\int e^{x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x} - (\cos (x) e^{x})}{2} + C$

Étape 6.8

Réécrivez $\frac{\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}}{2} + C$ comme $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$ .

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x} - \cos (x) e^{x}) + C$

Étape 7

Résolvez $y$ .

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Étape 7.1

Simplifiez

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{x} y = \frac{1}{2} (\sin (x) e^{x}) + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Étape 7.1.2

Multipliez $\frac{1}{2} (\sin (x) e^{x})$ .

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Étape 7.1.2.1

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x)}{2} e^{x} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Étape 7.1.2.2

Associez $\frac{\sin (x)}{2}$ et $e^{x}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} + \frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x}) + C$

Étape 7.1.3

Multipliez $\frac{1}{2} (- \cos (x) e^{x})$ .

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Étape 7.1.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\cos (x)$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{\cos (x)}{2} e^{x} + C$

Étape 7.1.3.2

Associez $e^{x}$ et $\frac{\cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Étape 7.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sin (x) e^{x}}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ .

$e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$

Étape 7.2

Divisez chaque terme dans $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ par $e^{x}$ et simplifiez.

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Étape 7.2.1

Divisez chaque terme dans $e^{x} y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} + C$ par $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 7.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{e^{x} \sin (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{e^{x} \sin (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.3.1.2

Associez.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.3.1.3

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 7.2.3.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{e^{x} \sin (x) \cdot 1}{2 e^{x}} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.3.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sin (x) \cdot 1}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.3.1.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.3.1.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.3.1.6

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

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Étape 7.2.3.1.6.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{e^{x} \cos (x)}{2}$ dans le numérateur.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- e^{x} \cos (x)}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.3.1.6.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x} \cos (x)$ .

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.3.1.6.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{e^{x} (- 1 \cos (x))}{2} \cdot \frac{1}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.3.1.6.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sin (x)}{2} + \frac{- 1 \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\sin (x)}{2} - \frac{\cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{x}}$