Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = \sin (t)$ , $y (0) = 1$ , $t = 0.5$ , $h = 0.05$

Étape 1

Définissez $f (t, y)$ de sorte que $\frac{d y}{d t} = f (t, y)$ .

$f (t, y) = \sin (t)$

Étape 2

Déterminez $f (0, 1)$ .

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Étape 2.1

Remplacez $t$ par $0$ et $y$ par $1$ .

$f (0, 1) = \sin (0)$

Étape 2.2

Évaluez $\sin (0)$ .

$f (0, 1) = 0$

Étape 3

Utilisez la formule récursive $y_{1} = y_{0} + h f (t_{0}, y_{0})$ pour déterminer $y_{1}$ .

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Étape 3.1

Remplacez.

$y_{1} = 1 + 0.05 \cdot 0$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

Multipliez $0.05$ par $0$ .

$y_{1} = 1 + 0$

Étape 3.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$y_{1} = 1$

Étape 4

Utilisez la formule récursive $t_{1} = t_{0} + h$ pour déterminer $t_{1}$ .

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Étape 4.1

Remplacez.

$t_{1} = 0 + 0.05$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $0.05$ .

$t_{1} = 0.05$

Étape 5

Déterminez $f (0.05, 1)$ .

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Étape 5.1

Remplacez $t$ par $0.05$ et $y$ par $1$ .

$f (0.05, 1) = \sin (0.05)$

Étape 5.2

Évaluez $\sin (0.05)$ .

$f (0.05, 1) = 0.04997916$

Étape 6

Utilisez la formule récursive $y_{2} = y_{1} + h f (t_{1}, y_{1})$ pour déterminer $y_{2}$ .

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Étape 6.1

Remplacez.

$y_{2} = 1 + 0.05 \cdot 0.04997916$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Multipliez $0.05$ par $0.04997916$ .

$y_{2} = 1 + 0.00249895$

Étape 6.2.2

Additionnez $1$ et $0.00249895$ .

$y_{2} = 1.00249895$

Étape 7

Utilisez la formule récursive $t_{2} = t_{1} + h$ pour déterminer $t_{2}$ .

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Étape 7.1

Remplacez.

$t_{2} = 0.05 + 0.05$

Étape 7.2

Additionnez $0.05$ et $0.05$ .

$t_{2} = 0.1$

Étape 8

Continuez de la même manière jusqu’à ce que vous ayez approximé toutes les valeurs souhaitées.

Étape 9

Indiquez les approximations dans un tableau.

$\begin{array}{c} t_{n} & y_{n} \\ 0 & 1 \\ 0.05 & 1 \\ 0.1 & 1.00249895 \\ 0.15 & 1.00749062 \\ 0.2 & 1.01496253 \\ 0.25 & 1.024896 \\ 0.3 & 1.0372662 \\ 0.35 & 1.05204221 \\ 0.4 & 1.0691871 \\ 0.45 & 1.08865801 \\ 0.5 & 1.11040629 \end{array}$