Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$

Étape 1

Pour résoudre l’équation différentielle, laissez $v = y^{1 - n}$ où $n$ est l’exposant de $y^{2}$ .

$v = y^{- 1}$

Étape 2

Résolvez l’équation pour $y$ .

$y = v^{- 1}$

Étape 3

Prenez la dérivée de $y$ par rapport à $x$ .

$y' = v^{- 1}$

Étape 4

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ par rapport à $x$ .

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Étape 4.1

Prenez la dérivée de $v^{- 1}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- 1}]$

Étape 4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 1$ et $g (x) = v$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y' = \frac{v \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y' = \frac{v \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.4.3.1

Multipliez $v$ par $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3.2

Soustrayez $\frac{d}{d x} [v]$ de $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v]}{v^{2}}$

Étape 4.5

Réécrivez $\frac{d}{d x} [v]$ comme $v'$ .

$y' = - \frac{v'}{v^{2}}$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $- \frac{v'}{v^{2}}$ et $y$ par $v^{- 1}$ dans l’équation d’origine $\frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} y^{2}$ .

$- \frac{v'}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ .

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Étape 6.1.1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d v}{d x} + P (x) v = Q (x)$ .

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Étape 6.1.1.1

Multiplier chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ par $- v^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 6.1.1.1.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} + 2 x v^{- 1} = x^{2} {(v^{- 1})}^{2}$ par $- v^{2}$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun de $v^{2}$ .

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Étape 6.1.1.1.2.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\frac{d v}{d x}}{v^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (- v^{2}) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.1.2

Factorisez $v^{2}$ à partir de $- v^{2}$ .

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{v^{2}} (v^{2} \cdot - 1) + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.3

Multipliez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{- 1} (- v^{2}) = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.4

Multipliez $v^{- 1}$ par $v^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.1.2.1.4.1

Déplacez $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x (v^{2} v^{- 1}) \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.4.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{2 - 1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.4.3

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v^{1} \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.5

Simplifiez $2 x v^{1} \cdot - 1$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 x v \cdot - 1 = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = x^{2} {(v^{- 1})}^{2} (- v^{2})$

Étape 6.1.1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} {(v^{- 1})}^{2} v^{2}$

Étape 6.1.1.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(v^{- 1})}^{2}$ .

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Étape 6.1.1.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 1 \cdot 2} v^{2}$

Étape 6.1.1.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{- 2} v^{2}$

Étape 6.1.1.1.3.3

Multipliez $v^{- 2}$ par $v^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.1.3.3.1

Déplacez $v^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} (v^{2} v^{- 2})$

Étape 6.1.1.1.3.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{2 - 2}$

Étape 6.1.1.1.3.3.3

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2} v^{0}$

Étape 6.1.1.1.3.4

Simplifiez $- x^{2} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

Étape 6.1.1.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d v}{d x} - 2 v x = - x^{2}$

Étape 6.1.2

Factorisez $v$ à partir de $- 2 v x$ .

$\frac{d v}{d x} + v (- 2 x) = - x^{2}$

Étape 6.1.3

Remettez dans l’ordre $v$ et $- 2 x$ .

$\frac{d v}{d x} - 2 x v = - x^{2}$

Étape 6.2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - 2 x$ .

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Étape 6.2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - 2 x d x}$

Étape 6.2.2

Intégrez $- 2 x$ .

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Étape 6.2.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- 2 \int x d x}$

Étape 6.2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Étape 6.2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.2.2.3.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Étape 6.2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.3.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Étape 6.2.2.3.2.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 6.2.2.3.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Étape 6.2.2.3.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Étape 6.2.2.3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Étape 6.2.2.3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Étape 6.2.2.3.2.2.2.4

Divisez $- 1$ par $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Étape 6.2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- x^{2}}$

Étape 6.3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{- x^{2}}$ .

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Étape 6.3.1

Multipliez chaque terme par $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

Étape 6.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = e^{- x^{2}} (- x^{2})$

Étape 6.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$

Étape 6.3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x v) = - e^{- x^{2}} x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d v}{d x} - 2 x v e^{- x^{2}} = - x^{2} e^{- x^{2}}$

Étape 6.4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] = - x^{2} e^{- x^{2}}$

Étape 6.5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} v] d x = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Étape 6.6

Intégrez le côté gauche.

$e^{- x^{2}} v = \int - x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Étape 6.7

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x^{2}} v = - \int x^{2} e^{- x^{2}} d x$

Étape 6.7.2

Laissez $u_{1} = - x^{2}$ . Alors $d u_{1} = - 2 x d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{1} = x d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 6.7.2.1

Laissez $u_{1} = - x^{2}$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 6.7.2.1.1

Différenciez $- x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 6.7.2.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 6.7.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 x)$

Étape 6.7.2.1.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x$

Étape 6.7.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1}$

Étape 6.7.3

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Étape 6.7.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{- x^{2}} v = - \int \sqrt{- u_{1}} e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1}$

Étape 6.7.3.2

Associez $\sqrt{- u_{1}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int e^{u_{1}} (- \frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}) d u_{1}$

Étape 6.7.3.3

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{\sqrt{- u_{1}}}{2}$ .

$e^{- x^{2}} v = - \int - \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Étape 6.7.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x^{2}} v = - - \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Étape 6.7.5

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Étape 6.7.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- x^{2}} v = 1 \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Étape 6.7.5.2

Multipliez $\int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$ par $1$ .

$e^{- x^{2}} v = \int \frac{e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}}}{2} d u_{1}$

Étape 6.7.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \sqrt{- u_{1}} d u_{1}$

Étape 6.7.7

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = e^{u_{1}}$ et $d v = \sqrt{- u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.7.8

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Étape 6.7.8.1

Associez ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (e^{u_{1}} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}) - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.7.8.2

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.7.8.3

Déplacez $2$ à gauche de ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.7.8.4

Déplacez $2$ à gauche de $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.7.8.5

Associez ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3} e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.7.8.6

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} ({u_{2}}^{\frac{3}{2}} \cdot 2)}{3} d u_{1})$

Étape 6.7.8.7

Déplacez $2$ à gauche de ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{e^{u_{1}} (2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}})}{3} d u_{1})$

Étape 6.7.8.8

Déplacez $2$ à gauche de $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int - \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Étape 6.7.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} - - \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Étape 6.7.10

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Étape 6.7.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + 1 \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Étape 6.7.10.2

Multipliez $\int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1}$ par $1$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \int \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} d u_{1})$

Étape 6.7.11

Comme $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Étape 6.7.12

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$

Étape 6.7.13

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Étape 6.7.13.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (- \frac{2 e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} (e^{u_{1}} + C))$ comme $\frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2}{3} e^{u_{1}} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Étape 6.7.13.2

Simplifiez

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Étape 6.7.13.2.1

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Étape 6.7.13.2.2

Associez ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ et $\frac{e^{u_{1}} \cdot 2}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (e^{u_{1}} \cdot 2)}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Étape 6.7.13.2.3

Déplacez $2$ à gauche de $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{{u_{2}}^{\frac{3}{2}} (2 \cdot e^{u_{1}})}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Étape 6.7.13.2.4

Déplacez $2$ à gauche de ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 \cdot {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2}{3} {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}) + C$

Étape 6.7.13.2.5

Associez $\frac{2}{3}$ et ${u_{2}}^{\frac{3}{2}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3} e^{u_{1}}) + C$

Étape 6.7.13.2.6

Associez $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}}}{3}$ et $e^{u_{1}}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} (- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3} + \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}) + C$

Étape 6.7.13.2.7

Additionnez $- \frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ et $\frac{2 {u_{2}}^{\frac{3}{2}} e^{u_{1}}}{3}$ .

$e^{- x^{2}} v = \frac{1}{2} \cdot 0 + C$

Étape 6.7.13.2.8

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$e^{- x^{2}} v = 0 + C$

Étape 6.7.13.2.9

Additionnez $0$ et $C$ .

$e^{- x^{2}} v = C$

Étape 6.8

Divisez chaque terme dans $e^{- x^{2}} v = C$ par $e^{- x^{2}}$ et simplifiez.

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Étape 6.8.1

Divisez chaque terme dans $e^{- x^{2}} v = C$ par $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Étape 6.8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.8.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{- x^{2}}$ .

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Étape 6.8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{- x^{2}} v}{e^{- x^{2}}} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Étape 6.8.2.1.2

Divisez $v$ par $1$ .

$v = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Étape 7

Remplacez $v$ par $y^{- 1}$ .

$y^{- 1} = \frac{C}{e^{- x^{2}}}$