Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{5} - 20 x^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} - 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 1.2.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$15 x^{4} - 20 (3 x^{2})$

Étape 1.3.3

Multipliez $3$ par $- 20$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $15 x^{4} - 60 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $15$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $15 x^{4}$ par rapport à $x$ est $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Étape 2.2.3

Multipliez $4$ par $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 60 x^{2})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $- 60$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 60 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 \frac{d}{d x} x^{2}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 (2 x)$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $- 60$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 120 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{5} - 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{5}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $5$ par $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$

Étape 4.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Comme $- 20$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 20 x^{3}$ par rapport à $x$ est $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$15 x^{4} - 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$15 x^{4} - 20 (3 x^{2})$

Étape 4.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 20$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 60 x^{2}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $15 x^{4} - 60 x^{2}$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$15 x^{4} - 60 x^{2} = 0$

Étape 5.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$15 {(x^{2})}^{2} - 60 x^{2} = 0$

Étape 5.2.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$15 u^{2} - 60 u = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $15 u$ à partir de $15 u^{2} - 60 u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Factorisez $15 u$ à partir de $15 u^{2}$ .

$15 u (u) - 60 u = 0$

Étape 5.2.3.2

Factorisez $15 u$ à partir de $- 60 u$ .

$15 u (u) + 15 u (- 4) = 0$

Étape 5.2.3.3

Factorisez $15 u$ à partir de $15 u (u) + 15 u (- 4)$ .

$15 u (u - 4) = 0$

Étape 5.2.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$15 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $x^{2} - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Définissez $x^{2} - 4$ égal à $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $x^{2} - 4 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 4$

Étape 5.5.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 5.5.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 5.5.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 5.5.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 5.5.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 5.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $15 x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 2, - 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, 2, - 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$60 {(0)}^{3} - 120 \cdot 0$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$60 \cdot 0 - 120 \cdot 0$

Étape 9.1.2

Multipliez $60$ par $0$ .

$0 - 120 \cdot 0$

Étape 9.1.3

Multipliez $- 120$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 2)$ dans la dérivée première $15 x^{4} - 60 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 15 {(- 4)}^{4} - 60 {(- 4)}^{2}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$f' (- 4) = 15 \cdot 256 - 60 {(- 4)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.2

Multipliez $15$ par $256$ .

$f' (- 4) = 3840 - 60 {(- 4)}^{2}$

Étape 10.2.2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = 3840 - 60 \cdot 16$

Étape 10.2.2.1.4

Multipliez $- 60$ par $16$ .

$f' (- 4) = 3840 - 960$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $960$ de $3840$ .

$f' (- 4) = 2880$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $2880$ .

$2880$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 1$ , de l’intervalle $(- 2, 0)$ dans la dérivée première $15 x^{4} - 60 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f' (- 1) = 15 {(- 1)}^{4} - 60 {(- 1)}^{2}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$f' (- 1) = 15 \cdot 1 - 60 {(- 1)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.2

Multipliez $15$ par $1$ .

$f' (- 1) = 15 - 60 {(- 1)}^{2}$

Étape 10.3.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$f' (- 1) = 15 - 60 \cdot 1$

Étape 10.3.2.1.4

Multipliez $- 60$ par $1$ .

$f' (- 1) = 15 - 60$

Étape 10.3.2.2

Soustrayez $60$ de $15$ .

$f' (- 1) = - 45$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $- 45$ .

$- 45$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée première $15 x^{4} - 60 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 15 {(1)}^{4} - 60 {(1)}^{2}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 15 \cdot 1 - 60 {(1)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.2

Multipliez $15$ par $1$ .

$f' (1) = 15 - 60 {(1)}^{2}$

Étape 10.4.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 15 - 60 \cdot 1$

Étape 10.4.2.1.4

Multipliez $- 60$ par $1$ .

$f' (1) = 15 - 60$

Étape 10.4.2.2

Soustrayez $60$ de $15$ .

$f' (1) = - 45$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $- 45$ .

$- 45$

Étape 10.5

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée première $15 x^{4} - 60 x^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 15 {(4)}^{4} - 60 {(4)}^{2}$

Étape 10.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.5.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$f' (4) = 15 \cdot 256 - 60 {(4)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.2

Multipliez $15$ par $256$ .

$f' (4) = 3840 - 60 {(4)}^{2}$

Étape 10.5.2.1.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 3840 - 60 \cdot 16$

Étape 10.5.2.1.4

Multipliez $- 60$ par $16$ .

$f' (4) = 3840 - 960$

Étape 10.5.2.2

Soustrayez $960$ de $3840$ .

$f' (4) = 2880$

Étape 10.5.2.3

La réponse finale est $2880$ .

$2880$

Étape 10.6

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - 2$ , $x = - 2$ est un maximum local.

$x = - 2$ est un maximum local

Étape 10.7

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.8

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 2$ , $x = 2$ est un minimum local.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 10.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = 3 x^{5} - 20 x^{3}$ .

$x = - 2$ est un maximum local

$x = 2$ est un minimum local

$x = - 2$ est un maximum local

$x = 2$ est un minimum local

Étape 11