Calcul infinitésimal Exemples

$y \sqrt{x + 4} = x y + 8$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 4}$ comme ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = x y + 8$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (x y + 8)$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = y$ et $g (x) = {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}] + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 4$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 4$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 4$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.7

Associez les fractions.

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Étape 3.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y (\frac{1}{2} {(x + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$y (\frac{{(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.7.3

Placez ${(x + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.7.4

Associez $\frac{1}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ et $y$ .

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 4] + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.11.2

Multipliez $\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.12

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y'$

Étape 3.13

Remettez les termes dans l’ordre.

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x y + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 4.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.2.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$x y' + y + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x y' + y + 0$

Étape 4.3.2

Additionnez $x y' + y$ et $0$ .

$x y' + y$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Simplifiez ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Étape 6.1.1

Pour écrire ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y'$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' \cdot \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Étape 6.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 6.1.2.1

Associez ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y'$ et $\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Étape 6.1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Étape 6.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Étape 6.1.3.2

Multipliez ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.3.2.1

Déplacez ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 ({(x + 4)}^{\frac{1}{2}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Étape 6.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Étape 6.1.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Étape 6.1.3.2.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Étape 6.1.3.2.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{2 {(x + 4)}^{1} y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Étape 6.1.3.3

Simplifiez $2 {(x + 4)}^{1} y'$ .

$\frac{2 (x + 4) y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Étape 6.1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 4) y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Étape 6.1.3.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{(2 x + 8) y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Étape 6.1.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x y' + 8 y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = x y' + y$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $x y'$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2 x y' + 8 y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} - x y' = y$

Étape 6.2.2

Pour écrire $- x y'$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x y' + 8 y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} - x y' \cdot \frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = y$

Étape 6.2.3

Associez $- x y'$ et $\frac{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x y' + 8 y' + y}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- x y' (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = y$

Étape 6.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - x y' (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = y$

Étape 6.2.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} = y$

Étape 6.3

Multipliez les deux côtés par $2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.4

Simplifiez

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Étape 6.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.1.1

Simplifiez $\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.4.1.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.4.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.4.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.4.1.1.3

Annulez le facteur commun de ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.4.1.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 4)}^{\frac{1}{2}}} {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.4.1.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$2 x y' + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.4.1.1.4

Remettez dans l’ordre.

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Étape 6.4.1.1.4.1

Déplacez $x$ .

$2 y' x + 8 y' + y - 2 x y' {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.4.1.1.4.2

Déplacez $x$ .

$2 y' x + 8 y' + y - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.4.1.1.4.3

Déplacez $y$ .

$2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + y = y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + y = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.5.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

Étape 6.5.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.5.2.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' x$ .

$2 y' x + 8 y' - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

Étape 6.5.2.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $8 y'$ .

$2 y' x + 2 y' \cdot 4 - 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

Étape 6.5.2.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 2 y' x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y' x + 2 y' \cdot 4 + 2 y' (- 1 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

Étape 6.5.2.4

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' x + 2 y' \cdot 4$ .

$2 y' (x + 4) + 2 y' (- 1 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

Étape 6.5.2.5

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' (x + 4) + 2 y' (- 1 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})$ .

$2 y' (x + 4 - 1 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

Étape 6.5.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$2 y' (x + 4 - x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

Étape 6.5.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$

Étape 6.5.5

Divisez chaque terme dans $2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$ par $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8$ et simplifiez.

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Étape 6.5.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4) = 2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$ par $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8$ .

$\frac{2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Étape 6.5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.5.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)$ .

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Étape 6.5.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.5.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Étape 6.5.5.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (x) + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Étape 6.5.5.2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (x)$ .

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 8} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Étape 6.5.5.2.2.4

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 2 (4)} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Étape 6.5.5.2.2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4))}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Étape 6.5.5.2.2.6

Annulez le facteur commun.

Étape 6.5.5.2.2.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)}{- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4} = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Étape 6.5.5.2.3

Annulez le facteur commun.

Étape 6.5.5.2.4

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8} + \frac{- y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Étape 6.5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.5.5.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Étape 6.5.5.3.2

Factorisez $y$ à partir de $2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - y$ .

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Étape 6.5.5.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $2 y {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) - y}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Étape 6.5.5.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + y \cdot - 1}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Étape 6.5.5.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8}$

Étape 6.5.5.3.3

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 x + 8$ .

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Étape 6.5.5.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x + 8}$

Étape 6.5.5.3.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (x) + 8}$

Étape 6.5.5.3.3.3

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x + 2 \cdot 4}$

Étape 6.5.5.3.3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 2 \cdot 4}$

Étape 6.5.5.3.3.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x) + 2 \cdot 4$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} + x + 4)}$

Étape 6.5.5.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) + x + 4)}$

Étape 6.5.5.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x) + 4)}$

Étape 6.5.5.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}) - 1 (- x)$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x) + 4)}$

Étape 6.5.5.3.7

Réécrivez $4$ comme $- 1 (- 4)$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x) - 1 (- 4))}$

Étape 6.5.5.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x) - 1 (- 4)$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4))}$

Étape 6.5.5.3.9

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 6.5.5.3.9.1

Réécrivez $- (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4)$ comme $- 1 (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4)$ .

$y' = \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (- 1 (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4))}$

Étape 6.5.5.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4)}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - 1)}{2 (x {(x + 4)}^{\frac{1}{2}} - x - 4)}$