Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{x^{4}}{x - 1} d x$

Étape 1

Divisez $x^{4}$ par $x - 1$ .

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Étape 1.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 1.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

Étape 1.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 1.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{4} - x^{3}$

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 1.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

Étape 1.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 1.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 1.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Étape 1.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} - x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Étape 1.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

Étape 1.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

Étape 1.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

Étape 1.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Étape 1.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} - x$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Étape 1.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

Étape 1.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

Étape 1.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

Étape 1.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

$x$

$1$

Étape 1.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x - 1$

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

$x$

$1$

Étape 1.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$0$

$x^{4}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$x^{2}$

$x$

$0$

$x$

$1$

Étape 1.21

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{3} + x^{2} + x + 1 + \frac{1}{x - 1} d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{3} d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2} d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x - 1} d x$

Étape 3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x^{2} d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x - 1} d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} x d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x - 1} d x$

Étape 5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x - 1} d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{1}{2}} + x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x - 1} d x$

Étape 7

Laissez $u = x - 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1

Laissez $u = x - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1

Différenciez $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Étape 7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 7.1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 7.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{lower} = 0 - 1$

Étape 7.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$u_{lower} = - 1$

Étape 7.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = x - 1$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} - 1$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.5.2

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 7.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$u_{upper} = \frac{1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 7.5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.4.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$u_{upper} = \frac{1 - 2}{2}$

Étape 7.5.4.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$u_{upper} = \frac{- 1}{2}$

Étape 7.5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$u_{upper} = - \frac{1}{2}$

Étape 7.6

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \frac{1}{2}$

Étape 7.7

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{1}{2}} + x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \int_{- 1}^{- \frac{1}{2}} \frac{1}{u} d u$

Étape 8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{1}{2}} + x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \ln (| u |)]_{- 1}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Associez $\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{1}{2}} + x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \ln (| u |)]_{- 1}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.2

Associez $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{1}{2}} + x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \ln (| u |)]_{- 1}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 9.3

Associez $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{\frac{1}{2}}$ et $x]_{0}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x]_{0}^{\frac{1}{2}} + \ln (| u |)]_{- 1}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 10

Remplacez et simplifiez.

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Étape 10.1

Évaluez $\frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + x$ sur $\frac{1}{2}$ et sur $0$ .

$(\frac{1}{4} {(\frac{1}{2})}^{4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + \ln (| u |)]_{- 1}^{- \frac{1}{2}}$

Étape 10.2

Évaluez $\ln (| u |)$ sur $- \frac{1}{2}$ et sur $- 1$ .

Étape 10.3

Simplifiez

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Étape 10.3.1

Réécrivez $\frac{1}{4}$ comme $4^{- 1}$ .

$4^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{- 1} {(\frac{1}{2})}^{4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 \cdot - 1} {(\frac{1}{2})}^{4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2^{- 2} {(\frac{1}{2})}^{4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.5

Réécrivez $\frac{1}{2}$ comme $2^{- 1}$ .

$2^{- 2} {(2^{- 1})}^{4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.6

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$2^{- 2} {({(2^{1})}^{- 1})}^{4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.7

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{- 2} {(2^{1 \cdot - 1})}^{4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

Étape 10.3.9

Multipliez les exposants dans ${(2^{- 1})}^{4}$ .

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Étape 10.3.9.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{- 2} \cdot 2^{- 1 \cdot 4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.9.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$2^{- 2} \cdot 2^{- 4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2^{- 2 - 4} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.11

Soustrayez $4$ de $- 2$ .

$2^{- 6} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.12

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{6}} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.13

Élevez $2$ à la puissance $6$ .

$\frac{1}{64} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.14

Multipliez $\frac{1}{2}$ par ${(\frac{1}{2})}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 10.3.14.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

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Étape 10.3.14.1.1

Élevez $\frac{1}{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{64} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{1} {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.14.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{64} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{1 + 2} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.14.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{64} + \frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{2} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.15

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{32}{32}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{64} + \frac{1}{2} \cdot \frac{32}{32} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.16

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $64$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.3.16.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{32}{32}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{64} + \frac{32}{2 \cdot 32} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.16.2

Multipliez $2$ par $32$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{64} + \frac{32}{64} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1 + 32}{64} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.18

Additionnez $1$ et $32$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (\frac{1}{4} \cdot 0^{4} + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.19

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (\frac{1}{4} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.20

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (0 + \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.21

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (0 + \frac{1}{3} \cdot 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.22

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (0 + 0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.23

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0^{2} + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.24

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (0 + \frac{1}{2} \cdot 0 + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.25

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (0 + 0 + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.26

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - (0 + 0) + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.27

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} - 0 + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.28

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + 0 + (\ln (| - \frac{1}{2} |)) - \ln (| - 1 |)$

Étape 10.3.29

Additionnez $\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64}$ et $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (| - \frac{1}{2} |) - \ln (| - 1 |)$

Étape 11

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1}{2})}^{3} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{| - \frac{1}{2} |}{| - 1 |})$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1^{3}}{2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{| - \frac{1}{2} |}{| - 1 |})$

Étape 12.2

Associez.

$\frac{1 \cdot 1^{3}}{3 \cdot 2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{| - \frac{1}{2} |}{| - 1 |})$

Étape 12.3

Multipliez $1^{3}$ par $1$ .

$\frac{1^{3}}{3 \cdot 2^{3}} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{| - \frac{1}{2} |}{| - 1 |})$

Étape 12.4

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1^{3}}{3 \cdot 8} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{| - \frac{1}{2} |}{| - 1 |})$

Étape 12.5

Multipliez $3$ par $8$ .

$\frac{1^{3}}{24} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{| - \frac{1}{2} |}{| - 1 |})$

Étape 12.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{24} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{| - \frac{1}{2} |}{| - 1 |})$

Étape 12.7

$- \frac{1}{2}$ est d’environ $- 0.5$ qui est négatif, alors inversez $- \frac{1}{2}$ et retirez la valeur absolue

$\frac{1}{24} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{\frac{1}{2}}{| - 1 |})$

Étape 12.8

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 1$ et $0$ est $1$ .

$\frac{1}{24} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{\frac{1}{2}}{1})$

Étape 12.9

Divisez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{24} + {(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 12.10

Pour écrire $\frac{1}{24}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{8}{8}$ .

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{24} \cdot \frac{8}{8} + \frac{33}{64} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 12.11

Pour écrire $\frac{33}{64}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{1}{24} \cdot \frac{8}{8} + \frac{33}{64} \cdot \frac{3}{3} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 12.12

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $192$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 12.12.1

Multipliez $\frac{1}{24}$ par $\frac{8}{8}$ .

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{8}{24 \cdot 8} + \frac{33}{64} \cdot \frac{3}{3} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 12.12.2

Multipliez $24$ par $8$ .

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{8}{192} + \frac{33}{64} \cdot \frac{3}{3} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 12.12.3

Multipliez $\frac{33}{64}$ par $\frac{3}{3}$ .

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{8}{192} + \frac{33 \cdot 3}{64 \cdot 3} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 12.12.4

Multipliez $64$ par $3$ .

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{8}{192} + \frac{33 \cdot 3}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 12.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{8 + 33 \cdot 3}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 12.14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.14.1

Multipliez $33$ par $3$ .

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{8 + 99}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 12.14.2

Additionnez $8$ et $99$ .

${(\frac{1}{2})}^{3} + \frac{107}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 13

Simplifiez

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Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 13.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1^{3}}{2^{3}} + \frac{107}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 13.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2^{3}} + \frac{107}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 13.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{1}{8} + \frac{107}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 13.2

Pour écrire $\frac{1}{8}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{24}{24}$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{24}{24} + \frac{107}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 13.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $192$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 13.3.1

Multipliez $\frac{1}{8}$ par $\frac{24}{24}$ .

$\frac{24}{8 \cdot 24} + \frac{107}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 13.3.2

Multipliez $8$ par $24$ .

$\frac{24}{192} + \frac{107}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 13.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{24 + 107}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 13.5

Additionnez $24$ et $107$ .

$\frac{131}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{131}{192} + \ln (\frac{1}{2})$

Forme décimale :

$- 0.01085551 \dots$

Étape 15