Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (- \frac{x}{2})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = - \frac{x}{2}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(- \frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2

Différenciez.

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Étape 2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(- (\frac{x}{2}))}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de produit à $- (\frac{x}{2})$ .

$\frac{1}{1 + {(- 1)}^{2} {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{1 + 1 {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.2.3

Multipliez ${(\frac{x}{2})}^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x}{2}]$

Étape 2.3

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Associez les fractions.

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Étape 2.4.1

Multipliez $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{(1 + {(\frac{x}{2})}^{2}) \cdot 2} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $1 + {(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

Étape 2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{x}{2}$ .

$- \frac{1}{2 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{2 \cdot 1 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Étape 3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Étape 3.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{4}}$

Étape 3.3.3

Associez $2$ et $\frac{x^{2}}{4}$ .

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{4}}$

Étape 3.3.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 3.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{2 + \frac{2 (x^{2})}{4}}$

Étape 3.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 3.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 3.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2 + \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 3.4.2

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{x^{2}}{2}}$

Étape 3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{\frac{2 \cdot 2 + x^{2}}{2}}$

Étape 3.4.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{1}{\frac{4 + x^{2}}{2}}$

Étape 3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- (1 \frac{2}{4 + x^{2}})$

Étape 3.6

Multipliez $\frac{2}{4 + x^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{2}{4 + x^{2}}$