Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$3 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.5

Placez la limite sous le radical.

$3 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 3.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Étape 5.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$3 (\frac{1}{1})$

Étape 5.2

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{1}{1})$

Étape 5.2.2

Réécrivez l’expression.

$3 \cdot 1$

Étape 5.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3$