Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{h \to 0} \frac{13 - \frac{π}{h^{2}}}{5 - \frac{6}{h^{2}}}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $13$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{h^{2}}{h^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{13 h^{2}}{h^{2}} - \frac{π}{h^{2}}}{5 - \frac{6}{h^{2}}}$

Étape 1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{13 h^{2} - π}{h^{2}}}{5 - \frac{6}{h^{2}}}$

Étape 1.3

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{h^{2}}{h^{2}}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{13 h^{2} - π}{h^{2}}}{\frac{5 h^{2}}{h^{2}} - \frac{6}{h^{2}}}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{13 h^{2} - π}{h^{2}}}{\frac{5 h^{2} - 6}{h^{2}}}$

Étape 2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{h \to 0} \frac{13 h^{2} - π}{h^{2}} \cdot \frac{h^{2}}{5 h^{2} - 6}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{13 h^{2} - π}{h^{2}}$ par $\frac{h^{2}}{5 h^{2} - 6}$ .

$lim_{h \to 0} \frac{(13 h^{2} - π) h^{2}}{h^{2} (5 h^{2} - 6)}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $h^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{h \to 0} \frac{(13 h^{2} - π) h^{2}}{h^{2} (5 h^{2} - 6)}$

Étape 2.3.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{h \to 0} \frac{13 h^{2} - π}{5 h^{2} - 6}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 13 h^{2} - π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - 6}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} 13 h^{2} - lim_{h \to 0} π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - 6}$

Étape 5

Placez le terme $13$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$\frac{13 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - 6}$

Étape 6

Déplacez l’exposant $2$ de $h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - 6}$

Étape 7

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - 6}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - π}{lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 6}$

Étape 9

Placez le terme $5$ hors de la limite car il est constant par rapport à $h$ .

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - π}{5 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 6}$

Étape 10

Déplacez l’exposant $2$ de $h^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - π}{5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 6}$

Étape 11

Évaluez la limite de $6$ qui est constante lorsque $h$ approche de $0$ .

$\frac{13 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - π}{5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 6}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $h$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{13 \cdot 0^{2} - π}{5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 6}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $h$ en insérant $0$ pour $h$ .

$\frac{13 \cdot 0^{2} - π}{5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 6}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{13 \cdot 0 - π}{5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 6}$

Étape 13.1.2

Multipliez $13$ par $0$ .

$\frac{0 - π}{5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 6}$

Étape 13.1.3

Soustrayez $π$ de $0$ .

$\frac{- π}{5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 6}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{- π}{5 \cdot 0 - 1 \cdot 6}$

Étape 13.2.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{- π}{0 - 1 \cdot 6}$

Étape 13.2.3

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{- π}{0 - 6}$

Étape 13.2.4

Soustrayez $6$ de $0$ .

$\frac{- π}{- 6}$

Étape 13.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{π}{6}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{π}{6}$

Forme décimale :

$0.52359877 \dots$