Calcul infinitésimal Exemples

$e^{2 x} - e^{- 2 x}$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{2 x} - e^{- 2 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ est $a^{u_{1}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

Étape 2.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

Étape 2.5

Déplacez $2$ à gauche de $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{- 2 x}]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{- 2 x}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$ .

$2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{- 2 x}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - 2 x$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- 2 x$ .

$2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Étape 3.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1))$

Étape 3.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$2 e^{2 x} - (e^{- 2 x} \cdot - 2)$

Étape 3.6

Déplacez $- 2$ à gauche de $e^{- 2 x}$ .

$2 e^{2 x} - (- 2 \cdot e^{- 2 x})$

Étape 3.7

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$2 e^{2 x} + 2 e^{- 2 x}$