Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} (\sec (θ) \tan (θ)) d θ$

Étape 1

Supprimez les parenthèses.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \sec (θ) \tan (θ) d θ$

Étape 2

Comme la dérivée de $\sec (θ)$ est $\sec (θ) \tan (θ)$ , l’intégrale de $\sec (θ) \tan (θ)$ est $\sec (θ)$ .

$\sec (θ)]_{0}^{\frac{π}{6}}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Évaluez $\sec (θ)$ sur $\frac{π}{6}$ et sur $0$ .

$\sec (\frac{π}{6}) - \sec (0)$

Étape 3.2

Simplifiez

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Étape 3.2.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{6})$ est $\frac{2}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} - \sec (0)$

Étape 3.2.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} - 1 \cdot 1$

Étape 3.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} - 1$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} - 1$

Étape 3.3.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.3.2.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{3}}$ par $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}} - 1$

Étape 3.3.2.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}} - 1$

Étape 3.3.2.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}} - 1$

Étape 3.3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}} - 1$

Étape 3.3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}} - 1$

Étape 3.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} - 1$

Étape 3.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} - 1$

Étape 3.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - 1$

Étape 3.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}} - 1$

Étape 3.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}} - 1$

Étape 3.3.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 1$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2 \sqrt{3}}{3} - 1$

Forme décimale :

$0.15470053 \dots$